Studio di una funzione: corretto, consigli?

[smaug1]

\(\displaystyle f(x)= \frac{e^x - 1}{x - 1}
\)
DOMINIO

\(\displaystyle \mathbb{D} = x \neq 1 \)

INTERSEZIONE ASSI CARTESIANI

\(\displaystyle f(0) = 0 \)

\(\displaystyle f(x)=0 \rightarrow x=0 \)

LIMITI

\(\displaystyle x \rightarrow + \infty \) Allora

\(\displaystyle
f(x) = + \infty \)

\(\displaystyle x \rightarrow - \infty \) Allora

\(\displaystyle f(x)= 0 \)

Mentre per

\(\displaystyle x \rightarrow 1^+ \)

\(\displaystyle f(x) = + \infty \)

\(\displaystyle
x \rightarrow 1^- \)

\(\displaystyle f(x)= - \infty \)

DERIVATA PRIMA

\(\displaystyle f'(x) = \frac{e^x(x-1) - (e^x - 1)}{(x - 1)^2} \) Per poterne calcolare i massimi e i minimi devo dire

\(\displaystyle f'(x) = 0 \rightarrow \)

\(\displaystyle
e^x(x-1) - (e^x - 1) = 0 \) la quale svolgendo mi viene \(\displaystyle xe^x - 2e^x + 1= 0 \)

In questi casi come posso dire quando si annulla? Siccome \(\displaystyle -2e^x + 1 \)non si annulla mai allora devo considerare solamente \(\displaystyle xe^x = 0 \) cioè quando \(\displaystyle x=0 ? \) Circa questo tipo di considerazioni ho dei dubbi!

DERIVATA SECONDA

\(\displaystyle f''(x) = \frac{e^x + xe^x(x - 1)^2 - 2(xe^x - 2e^x + 1)(x - 1)}{(x - 1) ^4} \)

Idem per questo caso come faccio a vedere quando \(\displaystyle e^x + xe^x(x - 1)^2 - 2(xe^x - 2e^x + 1)(x - 1) = 0 ? \)

Ah ho dimenticato lo STUDIO DEL SEGNO

\(\displaystyle f(x) > 0 \rightarrow x< 0 \cup x > 1 ? \)


Grazie

[Quinzio]

Guarda anche gli asintoti.
I massimi e minimi non li trovi (perchè non trovi $f'(x)=0$)
Però puoi affermare che c'è un max e un min.

[smaug1]

Neanche i punti di flesso? Ti riferisci agli asintoti obliqui?