Studio di una funzione con logaritmo ed esponente e

[DanieleEEco]

Ragazzi posso chiedervi un aiuto con una funzione? Grazie mille a priori, vi sarei eternamente grato se poteste anche spiegarmi i vari passaggi

f(x)=log(e4x+3-4x)

dove 4x+3 è l'elevazione a potenza di e (scusate ma sul post non riesco a riportare l'apice)

Grazie a tutti, davvero

[mc2]

Innanzi tutto osserviamo che l'argomento del log e` sempre positivo:

[math]e^{4x+3}-4x>0~~\forall x[/math]

(basta disegnare in grafico per vederlo) quindi il dominio di f e` tutto R.



Limiti:

[math]\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty[/math]

[math]\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty[/math]

Ricerca di asintoti obliqui

[math]y=mx+q[/math]

:

[math]m=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{4(e^{4x+3}-1)}{e^{4x+3}-4x}=0[/math]

[math]q=\lim\limits_{x\to-\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty[/math]

non c'e` asintoto obliquo sinistro

[math]m=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{4(e^{4x+3}-1)}{e^{4x+3}-4x}=4[/math]

[math]q=\lim\limits_{x\to-\infty}(f(x)-mx)=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\log(e^{4x+3}-4x)-4x\right)=[/math]

[math]=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(\log[e^{4x+3}(1-4xe^{-4x-3})]-4x\right)=[/math]

[math]=\lim\limits_{x\to-\infty}\left(4x+3+\log(1-4xe^{-4x-3})-4x\right)=3[/math]

asintoto obliquo destro:

[math]y=4x+3[/math]

Derivata prima:

[math]f'(x)=\frac{4(e^{4x+3}-1)}{e^{4x+3}-4x}[/math]

Il denominatore non si annulla (vedi sopra), mentre il numeratore si annulla se

[math]e^{4x+3}=1[/math]

cioe`

[math]4x+3=0[/math]

,

[math]x=-\frac{3}{4}[/math]

[math]f'(x)\ge 0[/math]

per math]x\ge -\frac{3}{4}[/math]

quindi c'e` minimo in

[math]x=-\frac{3}{4}[/math]

Derivata seconda:

[math]f''(x)=4\frac{(2-4x)e^{4x+3}-1}{(e^{4x+3}-4x)^2}[/math]

lo studio della derivata seconda si fa graficamente. Si vede che c'e` un unico zero in

[math]x=x_1\simeq -1.23[/math]

. Inoltre f'' e` positiva per

[math]x > x_1[/math]

.

Il punto di ascissa

[math]x_1[/math]

e` un flesso a tangente obliqua