Studio di una funzione con logaritmo e valore assoluto
Ciao a tutti 
volevo chiedervi una mano con lo studio di questa funzione
$ log ( |x| +1/x) $
mi sono bloccata già al dominio
perchè secondo i miei calcoli è rappresentato da $ x>0 $ e quindi \( (0,+\infty ) \) però secondo un calcolatore online c'è anche x<-1 sono confusa 
chiedo il vostro aiuto per lo studio della funzione! ve ne sarei davvero grata!
volevo chiedervi una mano con lo studio di questa funzione
$ log ( |x| +1/x) $
mi sono bloccata già al dominio
perchè secondo i miei calcoli è rappresentato da $ x>0 $ e quindi \( (0,+\infty ) \) però secondo un calcolatore online c'è anche x<-1 sono confusa chiedo il vostro aiuto per lo studio della funzione! ve ne sarei davvero grata!
Risposte
grazie per la risposta ho capito il procedimento! comunque adesso provo a svolgere lo studio di funzione, se mi dovessero sorgere altri dubbi posso esporli in questo stesso post?
ho capito il procedimento! comunque adesso provo a svolgere lo studio di funzione, se mi dovessero sorgere altri dubbi posso esporli in questo stesso post?
allora... ho calcolato i limiti agli estremi del dominio \( (-\infty ,-1)\vee (0, +\infty ) \) e ho trovato:
\( \lim_{x\rightarrow -\infty } log(-x+1/x)= +\infty \)
\( \lim_{x\rightarrow +\infty } log(x+1/x)=+\infty \)
\( \lim_{x\rightarrow -1} log(-x+1/x)=-\infty \) asintoto verticale in -1
\( \lim_{x\rightarrow 0} log( f(x) )= +\infty => \) asintoto verticale in 0
come procedo poi? ho provato a fare intersezione con gli assi e derivata prima per poi passare alla derivata seconda... ma diciamo che non riesco ad arrivare ad una conclusione per via del logaritmo e del valore assoluto insieme help!
\( \lim_{x\rightarrow -\infty } log(-x+1/x)= +\infty \)
\( \lim_{x\rightarrow +\infty } log(x+1/x)=+\infty \)
\( \lim_{x\rightarrow -1} log(-x+1/x)=-\infty \) asintoto verticale in -1
\( \lim_{x\rightarrow 0} log( f(x) )= +\infty => \) asintoto verticale in 0
come procedo poi? ho provato a fare intersezione con gli assi e derivata prima per poi passare alla derivata seconda... ma diciamo che non riesco ad arrivare ad una conclusione per via del logaritmo e del valore assoluto insieme
help!
spiegazione chiarissima 
Allora per determinare l'intersezione con l'asse x:
\( log( \mid x\mid + 1/x)=0 \)
e^ (log|x|+ 1/x)= e^0 [perdono, non sono riuscita a scriverla con una formula
)
da cui \( |x|+ 1/x=1 \)
ora qui (come nella disequazione) devo distinguere i 2 casi: per \( x< 0 \) e \( x> 0 \) ?
Allora per determinare l'intersezione con l'asse x:
\( log( \mid x\mid + 1/x)=0 \)
e^ (log|x|+ 1/x)= e^0 [perdono, non sono riuscita a scriverla con una formula
)da cui \( |x|+ 1/x=1 \)
ora qui (come nella disequazione) devo distinguere i 2 casi: per \( x< 0 \) e \( x> 0 \) ?
Ok quindi:
\( e^{\log\left(|x|+\frac{1}{x}\right)}\geq e^0 \)
\( log\left(|x|+\frac{1}{x}\right)\geq 1 \)
Per \( x>0 \) non esistono soluzioni \( \in \) R
Per \( x<0 \)
\( x_1= -1+\surd 5 \)
\( x_2= -1-\surd 5 \)
di cui prendo solo \( x_2 \) perchè si tratta del caso \( x<0 \)
Segno della funzione:
Per \( x>0 \) ottengo \( x\geq 1 \)
Per \( x<0 \) non esistono soluzioni \( \in \) R
Giusto?
Poi per quanto riguarda gli asintoti obliqui, ho calcolato:
\( \lim_{x\rightarrow -\infty } log(-x+1/x)\ast 1/x=
\lim_{x\rightarrow -\infty } log(-x)*1/x=
\lim_{x\rightarrow -\infty } -1/x= 0 \) (con de L'Hopital, anche se non sono sicura della correttezza del procedimento ) conclusione simile per \( x\rightarrow +\infty \) quindi secondo i miei calcoli non vi sono asintoti obliqui...
quindi:\( e^{\log\left(|x|+\frac{1}{x}\right)}\geq e^0 \)
\( log\left(|x|+\frac{1}{x}\right)\geq 1 \)
Per \( x>0 \) non esistono soluzioni \( \in \) R
Per \( x<0 \)
\( x_1= -1+\surd 5 \)
\( x_2= -1-\surd 5 \)
di cui prendo solo \( x_2 \) perchè si tratta del caso \( x<0 \)
Segno della funzione:
Per \( x>0 \) ottengo \( x\geq 1 \)
Per \( x<0 \) non esistono soluzioni \( \in \) R
Giusto?
Poi per quanto riguarda gli asintoti obliqui, ho calcolato:
\( \lim_{x\rightarrow -\infty } log(-x+1/x)\ast 1/x=
\lim_{x\rightarrow -\infty } log(-x)*1/x=
\lim_{x\rightarrow -\infty } -1/x= 0 \) (con de L'Hopital, anche se non sono sicura della correttezza del procedimento
) conclusione simile per \( x\rightarrow +\infty \) quindi secondo i miei calcoli non vi sono asintoti obliqui...
Si giusto avevo dimenticato di mettere le radici fratto 2 xD
comunque per quanto riguarda il segno della funzione ho ottenuto:
Per \( x<0 \)
\( x<(-1-1\surd 5)/2 \)
Per \( x>0 \) non esistono soluzioni appartenenti a R
è corretto?
Ho calcolato poi la derivata prima e ottengo
Per x>0 \( (x^2-1)/ (x^3+x) \)
Per x<0 \( (-x^2-1)/ (x-x^3) \)
le pongo=0 e ho:
Per x>0 \( x=\pm 1 \)
Per x<0 non esistono soluzioni appartenenti ad R, quindi possibili punti di massimo e minimo sono solo +1 e -1
studio solo derivata per x>0
\( f^1(x)\geq 0 \) \( (x^2-1)/(x^3+x)\geq 0 \)
Qui ho un dubbio assurdo , cioè:
al numeratore: \( x<-1\vee x>1 \)
denominatore: \( x^3+x>0; x(x^2+1)> 0 \)
ottengo quindi x>0 e non esistono soluzioni appartenenti ad R... Quindi qual è la conclusione del discorso?
comunque per quanto riguarda il segno della funzione ho ottenuto:
Per \( x<0 \)
\( x<(-1-1\surd 5)/2 \)
Per \( x>0 \) non esistono soluzioni appartenenti a R
è corretto?
Ho calcolato poi la derivata prima e ottengo
Per x>0 \( (x^2-1)/ (x^3+x) \)
Per x<0 \( (-x^2-1)/ (x-x^3) \)
le pongo=0 e ho:
Per x>0 \( x=\pm 1 \)
Per x<0 non esistono soluzioni appartenenti ad R, quindi possibili punti di massimo e minimo sono solo +1 e -1
studio solo derivata per x>0
\( f^1(x)\geq 0 \) \( (x^2-1)/(x^3+x)\geq 0 \)
Qui ho un dubbio assurdo
, cioè:al numeratore: \( x<-1\vee x>1 \)
denominatore: \( x^3+x>0; x(x^2+1)> 0 \)
ottengo quindi x>0 e non esistono soluzioni appartenenti ad R... Quindi qual è la conclusione del discorso?
Ehm ... no ... in quanto a me risulta che sia verificata per qualsiasi x>0.
mmm io invece al numeratore considero l'equazione associata \( x^2-x+1=0 \) che non mi dà soluzioni reali... sicuramente sbaglio io qualcosa ma non mi so spiegare come possa essere verificata per ogni \( x>0 \)
quindi il punto di coordinate (1,log(2)) è di minimo relativo per f. Sapresti dire se si tratta anche di un minimo assoluto per f? (Giustificando la risposta, ovviamente)
azzardo una risposta... secondo me 1 non è punto di minimo assoluto perchè non viene verificata la relazione
\( f(x_0)=f(1)=log(2)\leq f(x) \forall x\in D \)
perchè ad esempio prendendo \( x=-2 \) ho \( f(-2)=log(3/2)\leq f(x_0)=log(2) \)
ho detto una stupidata?
A questo punto, in ogni modo, occorre studiare la crescenza/decrescenza per x<0: anche se sappiamo non esserci punti critici è bene conoscere l'andamento di f
Quindi...per \( x<0 \)
\( \frac{-x^2-1}{x\,(1-x^2)} \ge 0 \)
al numeratore non esistono soluzioni reali
al denominatore ottengo \( x>0 \) e \( -1
Non dico mica che quell'equazione ammetta soluzione in R. Ma noi dobbiamo risolvere una disequazione, non un'equazione. In sostanza tu hai constatato che quel polinomio non si annulla per alcuna valore reale: bene.
Ma per quali valori è maggiore di zero? A noi interessano anche quelli. Morale, tocca ripassare per bene come
risolvere le disequazioni di secondo grado. Io ti consiglio di darti una rinfrescatina qui, in particolare focalizzerei l'attenzione sul metodo della parabola perché molto intuitivo.
Ok! ho capito
ai avanti al solito modo: facendo il prodotto dei segni. Al numeratore, come hai ben scritto, per alcun x si hanno
valori positivi o nulli: bene, nella griglia dei segni metterai una fila di meno. Perché? Per il semplice motivo che tu
stai studiando la positività del numeratore: dato che il responso è che non è mai positivo o nullo allora per forza di
cose dovrà essere negativo.
Quindi:
Per \( x<0 \)
\( \frac{-x^2-1}{x\,(1-x^2)} \ge 0 \)
al numeratore non ci sono soluzioni reali
al denominatore ottengo \( x>0 \) e \( -1
Per \( -1
\( x>1 \) -> esclusa perchè sono nel caso \( x<0 \)
la funzione cresce
Per \( x<-1 \)
\( 0
la funzione decresce
Da queste considerazioni posso solamente dire che la funzione decresce per \( x<-1 \) ?
Ho fatto anche la serivata seconda:
\( f''(x) = \begin{cases} \frac{-x^4+4x^2}{(x^3+x)^2} & per \; x >0 \\ \frac{-x^4-4x^2+1}{(x-x^3)^2} & per \; x< 0 \end{cases} \)
Per \( x>0 \) l'unica soluzione accetabile è \( x\leq \sqrt[]{2+\sqrt[]{5}} \) che è un punto che appartiene al dominio ed è punto di flesso
Per \( x<0 \) l'unica soluzione accettabile è \( -\sqrt[]{2-\sqrt[]{5}} \)
Pongo \( f^"(x)\geq 0 \)
Per \( x>0 \) risolvendo la disequazione e facendo il prodotto dei segni ottengo che la funzione è convessa per \( x\leq \sqrt[]{2+\sqrt[]{5}} \) , concava per \( x\geq \sqrt[]{2+\sqrt[]{5}} \)
Prima di procedere col caso \( x<0 \) chiedo conferma della correttezza dei passaggi fatti fin qui
perfetto! ho capito i miei errori... rileggendo il post effettivamente mi eranoo sfuggite delle cose xD non sono abituata a scrivere in latex XD comunque...
Perchè concavità verso il basso? non ho capito la conclusione
Per \( x<0 \) procedo in maniera simile rispetto a \( x>0 \) e alla fine dei conti ottengo \( -\sqrt[]{\sqrt[]{5}-2}\leq x<0 \)
conclusione?
e dato che tale intervallo appartiene a \(D\) possiamo dire che, per \(x\ge0\), \(f\) presenta concavità verso il basso nell'intervallo \( 0 < x \le \sqrt{\sqrt{5}+2} \) e concavità verso l'alto per \(x>\sqrt{\sqrt{5}+2}\)..
Perchè concavità verso il basso? non ho capito la conclusione
Per \( x<0 \) procedo in maniera simile rispetto a \( x>0 \) e alla fine dei conti ottengo \( -\sqrt[]{\sqrt[]{5}-2}\leq x<0 \)
conclusione?
Tutto chiaro! ancora grazie mille!! avrei un'ultima curiosità: un buon programma con cui poter verificare e tracciare il grafico del mio studio di funzione?
p.s. sicuramente tornerò con qualche altro esercizio xD non mi uccidere, abbi pietà!! XD
avrei un'ultima curiosità: un buon programma con cui poter verificare e tracciare il grafico del mio studio di funzione? p.s. sicuramente tornerò con qualche altro esercizio xD non mi uccidere, abbi pietà!! XD
Grazie ancora di tutto
ho già postato un altro esercizio eheheh
ho già postato un altro esercizio eheheh
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