Studio di una funzione a due variabili

[BHK1]

$f(x,y)=x^2+2xy+3y^2+4y$
trovare derivate parziali, derivata direzionale dove $v=cos(pi/3),sin(pi/3)$ nel punto$ (1,1)$
min e massimi, equazione del piano tangente nel punto $(1,1,f(1,1))$

Derivate parziali
$f_x=2x+2y$; $f_y=2x+6y+4$

Derivata direzionale
$D_vf(x,y)*v=(2x+2y,2x+6y+4)*(1/2,sqrt(3)/2)=(x+y,sqrt(3)x+3sqrt(3)y+2sqrt(3))$

nel punto (1,1) è $D_vf(x,y)=2+6 sqrt(3)$

massimi e minimi
$f_(x,x)=2
$f_(x,y)=2
$f_(y,y)=6
$f_(y,x)=2$

$H= | ( 2 , 2 ),( 2 , 6 ) |=8=>H>0 $

$f_(x,x)>0$ MINIMO RELATIVO

Equazione piano tangente

dovrebbe essere:
$z=f(x_0,y_0)+f_x*(x-x_0)+f_y*(y-y_0)$

nel punto $(1,1,f(1,1))$ ecco perchè mi da il punto così?
come posso sostituite nella equazione?

[Camillo]

Perchè lascia che sia tu a calcolare quanto vale $z=f(1,1) $
Naturalemnte $x_0=1 ; y_0=1 $

[BHK1]

quindi quel $f(1,1)$ significa che lo devo trovare sostituendo i punti alla funzione principale?
e poi xkè son tre valori? non dovrei avere due valori da sostituire alle variabili?

[Quinzio]

Sei in un punto dello spazio, non sei piu' "solo" sul piano xy. Per cui hai bisogno di 3 coordinate.

[Camillo]

Esatto nello spazio 3D tre coordinate $x,y,z $ che nel caso tuo valgono $1,1,z(1,1)=f(1,1)$,

[BHK1]

ok che era uno spazio a 3 dimensioni l'avevo intuito, ma non capisco perchè mi da tre punti x,y,z quando dovrei avere due punti noti e uno da ricavare.
quindi da quello che ho capito non cosidero il terzo punto?

[Camillo]

Infatti devi ricavare quanto vale $z=f(1,1) = 1+2+3+4=10$
Quindi il punto della superficie di cui richiede la equazione del piano tangente è $P=( 1,1,10) $ .
L'equazione del piano è :$z= 10+f_x(x-1)+f_y(y-1) $ .
Poichè $f_x= 2x+2y $ e per $x=1,y=1 $ vale $4$ e analogamente $f_y= 2x+6y+4 $ e per $x=1,y=1 $ vale $ 12 $ l'equazione del piano sarà :
$ z=10 +4(x-1)+12(y-1) $ da cui $ z= 4x+12y-6 $.
Se ancora qualcosa non ti è chiaro chiedi pure.

[BHK1]

ok, ho capito, invece per quanto riguarda i punti critici, mi chiede dopo aver trovato i max e min locali se esistoni max e min assoluti.

[Camillo]

Hai trovato i max e min locali ? l'unico punto critico è $(1,-1 ) $ , è di minimo locale e la funzione vale $-2$.

per max e min assoluti provo a muovermi sulla retta $ y=x $ , ottengo $ f(x,x) = x^2+2x^2+3x^2 +4x = 6x^2+4x $ .
E ' evidente che se mi muovo sulla retta $y=x $ con $ x rarr +00 $ e conseguentemente con $ y rarr +00 $ la funzione tende a $+00 $.
Quindi la funzione non ha massimo assoluto .

[BHK1]

si mi sono dimenticato di riscrivere il sistema delle derivate prime annullate,
comunque per trovare il max e min assouluti imposto $y=x$ e faccio tendere x a infinito?

[Camillo]

Per la ricerca del max assoluto in questo caso conviene porsi sulla retta $y=x $ e far tendere $x$ a $ +00 $ .
Per il minimo assoluto invece bisogna seguire un'altra strada.