Studio di una funzione
Mi sto esercitando per un compito
e ho questa funzione: $y=sqrt(x)*Log(x)$
Il dominio è $R$ in particolare la funzione è sempre positiva perchè c'è un $Logx$ sempre positivo che va da $(1,+oo)$ e poi la radice che è sempre positiva per $(0,+oo)$.
Vedendo il segno, la funzione non tocca mai lo 0 e per di piu ''parte'' da $1$.
Non ci sono asintoti obliqui, o orizzontali.
La funzione interseca l'asse delle x nel punto $x=1$
La derivata prima è
$y'= (Log(x))/(2*sqrt(x))+(sqrt(x))/x$
con $x=/0$ e in $Log x=-2$ che è impossibile.
questo mi fa togliere ogni dubbio e mi fa capire che è all' $oo$ la curva cresce sempre di piu.
La derivata seconda è:
$y= -2Log(x)-3$
e se voglio vedere la curva dove è convessa e concava o se c'è punto di flesso
impongo
$-2Log(x)-3>0$
$Log(x)<-3/2$ impossibile
quindi deduco che non c'è alcuna convessità o concavità.
E' giusto il mio ragionamento?
e ho questa funzione: $y=sqrt(x)*Log(x)$
Il dominio è $R$ in particolare la funzione è sempre positiva perchè c'è un $Logx$ sempre positivo che va da $(1,+oo)$ e poi la radice che è sempre positiva per $(0,+oo)$.
Vedendo il segno, la funzione non tocca mai lo 0 e per di piu ''parte'' da $1$.
Non ci sono asintoti obliqui, o orizzontali.
La funzione interseca l'asse delle x nel punto $x=1$
La derivata prima è
$y'= (Log(x))/(2*sqrt(x))+(sqrt(x))/x$
con $x=/0$ e in $Log x=-2$ che è impossibile.
questo mi fa togliere ogni dubbio e mi fa capire che è all' $oo$ la curva cresce sempre di piu.
La derivata seconda è:
$y= -2Log(x)-3$
e se voglio vedere la curva dove è convessa e concava o se c'è punto di flesso
impongo
$-2Log(x)-3>0$
$Log(x)<-3/2$ impossibile
quindi deduco che non c'è alcuna convessità o concavità.
E' giusto il mio ragionamento?
Risposte
"clever":
Mi sto esercitando per un compito
e ho questa funzione: $y=sqrt(x)*Log(x)$
Il dominio è $R$ in particolare la funzione è sempre positiva perchè c'è un $Logx$ sempre positivo che va da $(1,+oo)$ e poi la radice che è sempre positiva per $(0,+oo)$.
Se gli errori cominciano dal primo rigo è difficile dire cosa succeda in quelli successivi...
mi fermo al primo passo del tuo ragionamento: dici che il dominio è tutto $RR$, ma nè la radice nè il logaritmo sono definiti in $x<0$. Il logaritmo per di più non è definito neanche in $0$. Inoltre non è sempre positiva, perchè nell'intervallo $]0;1[$ è negativa.
Inoltre dici che la funzione non tocca mai lo $0$ e poi subito dopo dici che ha uno zero in $x=1$ (ed in effetti è vero).
Inoltre dici che la funzione non tocca mai lo $0$ e poi subito dopo dici che ha uno zero in $x=1$ (ed in effetti è vero).
Quindi non devo scrivere che tutto $R$ lo so, ma come dovrei scrivere allora?
La funzione tocca l'asse delle x quando $y=0$ non è cosi?
La funzione tocca l'asse delle x quando $y=0$ non è cosi?
"clever":
La funzione tocca l'asse delle x quando $y=0$ non è cosi?
certo che è così.
"clever":
Quindi non devo scrivere che tutto $R$ lo so, ma come dovrei scrivere allora?
mi sembra strano che tu lo sappia, visto che sopra hai detto proprio che il dominio è tutto $RR$.
ti ho spiegato prima dov'è che la tua funzione non è definita, e di consaeguenza qual'è il suo dominio. 
Quindi tu dici che il dominio è $[1,+oo)$ ?
"Boris":
mi fermo al primo passo del tuo ragionamento: dici che il dominio è tutto $RR$, ma nè la radice nè il logaritmo sono definiti in $x<0$. Il logaritmo per di più non è definito neanche in $0$.
Ho detto che la funzione non è definita nell'intervallo $]-\infty;0]$ di conseguenza sarà definita nel resto di $RR$.
Forse un piccolo ripasso sull'insieme di definizione ti gioverebbe
si...credo di si
che tonto che sono...
Ma il resto...va piu o meno bene?
che tonto che sono...
Ma il resto...va piu o meno bene?
Devi capire una cosa basilare.
Tutto parte dal dominio, se non conosci il dominio da cui partire non puoi parlare del resto...
Se io ho un dominio ad esempio $(2,+infty)$ è inutile che parlo della positività o della derivata in $RR$.
Il mio consiglio: riparti dal dominio e ricomincia lo studio di funzione..
Tutto parte dal dominio, se non conosci il dominio da cui partire non puoi parlare del resto...
Se io ho un dominio ad esempio $(2,+infty)$ è inutile che parlo della positività o della derivata in $RR$.
Il mio consiglio: riparti dal dominio e ricomincia lo studio di funzione..
Ci sono numerosi errori. Intanto vorrei capire se è logaritmo in base 10 o logaritmo naturale perchè la derivata che hai scritto è nel caso che sia naturale. Quindi prendo per assunto che sia logaritmo naturale, tanto l'andamento non cambia quindi non commetto un gravissimo errore, cambiano giusto le coordinate di alcuni punti.
Del dominio s'è già discusso inutile ripetere
Il segno della funzione è giusto. Risulta infatti che è f(x)<0 per x<1, f(x)>0 per x>1 e x=1 soluzione dell'equazione associata.
Non vedo nulla riguardo ai limiti della funzione, e mi sembra una mancanza piuttosto grave. In ogni caso $\lim_{x \to \infty}f(x)$= $infty$, non ha asintoti obliqui poichè $\lim_{x \to \infty}f(x)/x=0$, $\lim_{x \to \0}f(x)=0$ questo limite si risolve facilmente tramite i simboli di landau.
La derivata che hai scritto è giusta ma è sbagliata la conclusione infatti $log_{x}=-2$ ha una soluzione che è $e^-2$ che è minimo relativo della funzione (credo che tu ti sia confuso col fatto che il logaritmo non ammette ARGOMENTO minore di zero)
Il calcolo della derivata seconda invece risulta errato. Se rifai i conti vedi che la derivata seconda è positiva per x<1 e negativa per x>1 con punto di flesso in 1. quindi in definitiva:
f(x) decrescente e convessa nell'intervallo $0,e^-2$, crescente convessa nell'intervallo $e^-2,1$, crescente concava nell'interevallo $1,+infty$ (non uso parentesi per gli estremi ma spero sia chiaro comunque)
Del dominio s'è già discusso inutile ripetere
Il segno della funzione è giusto. Risulta infatti che è f(x)<0 per x<1, f(x)>0 per x>1 e x=1 soluzione dell'equazione associata.
Non vedo nulla riguardo ai limiti della funzione, e mi sembra una mancanza piuttosto grave. In ogni caso $\lim_{x \to \infty}f(x)$= $infty$, non ha asintoti obliqui poichè $\lim_{x \to \infty}f(x)/x=0$, $\lim_{x \to \0}f(x)=0$ questo limite si risolve facilmente tramite i simboli di landau.
La derivata che hai scritto è giusta ma è sbagliata la conclusione infatti $log_{x}=-2$ ha una soluzione che è $e^-2$ che è minimo relativo della funzione (credo che tu ti sia confuso col fatto che il logaritmo non ammette ARGOMENTO minore di zero)
Il calcolo della derivata seconda invece risulta errato. Se rifai i conti vedi che la derivata seconda è positiva per x<1 e negativa per x>1 con punto di flesso in 1. quindi in definitiva:
f(x) decrescente e convessa nell'intervallo $0,e^-2$, crescente convessa nell'intervallo $e^-2,1$, crescente concava nell'interevallo $1,+infty$ (non uso parentesi per gli estremi ma spero sia chiaro comunque)
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