Studio di una funzione
Siano $t>0$ e $\gamma>0$ reali e la funzione $h(t)=(1+t^\gamma)/(1+t^2)^(\gamma/2)$. Osservare che $h$ ha minimo e massimo positivi.
Allora innanzitutto siccome $t>0$ allora $h(t)>0$ per ogni $t$. Inoltre ho notato che i limiti per $0,+\infty$ sono entrambi $1$ e che se $0< \gamma<2$ allora $h$ ha un massimo (maggiore di $1$) in $t=1$, mentre se $\gamma>2$ ha un minimo (minore di $1$) in $t=1$, però non mi risulta che ci siano contemporaneamente un massimo e minimo per $h$. C'è qualcosa che non va?
Allora innanzitutto siccome $t>0$ allora $h(t)>0$ per ogni $t$. Inoltre ho notato che i limiti per $0,+\infty$ sono entrambi $1$ e che se $0< \gamma<2$ allora $h$ ha un massimo (maggiore di $1$) in $t=1$, mentre se $\gamma>2$ ha un minimo (minore di $1$) in $t=1$, però non mi risulta che ci siano contemporaneamente un massimo e minimo per $h$. C'è qualcosa che non va?
Risposte
Ciao andreadel1988,
Non specifica però se si tratta di minimi e massimi assoluti, relativi o entrambi... Sicuro poi che sia $t > 0 $ e non $t \ge 0 $?
Perché se fosse $t \ge 0 $ ad esempio per $\gamma = 1 $ a me risulta un minimo nel punto $L(0, 1) $ ed un massimo nel punto $M(1, \sqrt2) $; ad esempio per $\gamma = 3 > 2 $ mi risulta un minimo nel punto $L(1, 1/\sqrt2) $ ed un massimo nel punto $M(0, 1) $
"andreadel1988":
Osservare che $h$ ha minimo e massimo positivi.
Non specifica però se si tratta di minimi e massimi assoluti, relativi o entrambi... Sicuro poi che sia $t > 0 $ e non $t \ge 0 $?
Perché se fosse $t \ge 0 $ ad esempio per $\gamma = 1 $ a me risulta un minimo nel punto $L(0, 1) $ ed un massimo nel punto $M(1, \sqrt2) $; ad esempio per $\gamma = 3 > 2 $ mi risulta un minimo nel punto $L(1, 1/\sqrt2) $ ed un massimo nel punto $M(0, 1) $
"pilloeffe":
Ciao andreadel1988,
Non specifica però se si tratta di minimi e massimi assoluti, relativi o entrambi... Sicuro poi che sia $t > 0 $ e non $t \ge 0 $?
Guarda ti lascio in allegato il testo completo (è lungo da scrivere):
La parte in questione è alla fine per l'appunto.
Beh, c'è senz'altro un errore anche nella quartultima riga:
In quest'ultimo caso, provare la $(\ast\ast)$ equivale a provare che $ c \le \frac{|x|^{\gamma} + |y|}{(x^2 + y^2)^{\gamma/2}} \le C $
Quella corretta è la seguente:
In quest'ultimo caso, provare la $(\ast\ast)$ equivale a provare che $ c \le \frac{|x|^{\gamma} + |y|^{\gamma}}{(x^2 + y^2)^{\gamma/2}} \le C $
In quest'ultimo caso, provare la $(\ast\ast)$ equivale a provare che $ c \le \frac{|x|^{\gamma} + |y|}{(x^2 + y^2)^{\gamma/2}} \le C $
Quella corretta è la seguente:
In quest'ultimo caso, provare la $(\ast\ast)$ equivale a provare che $ c \le \frac{|x|^{\gamma} + |y|^{\gamma}}{(x^2 + y^2)^{\gamma/2}} \le C $
"pilloeffe":
Beh, c'è senz'altro un errore anche nella quartultima riga:
In quest'ultimo caso, provare la $(\ast\ast)$ equivale a provare che $ c \le \frac{|x|^{\gamma} + |y|}{(x^2 + y^2)^{\gamma/2}} \le C $
Quella corretta è la seguente:
In quest'ultimo caso, provare la $(\ast\ast)$ equivale a provare che $ c \le \frac{|x|^{\gamma} + |y|^{\gamma}}{(x^2 + y^2)^{\gamma/2}} \le C $
Si si quello è un errore dimenticanza credo
Dalla relazione corretta
$ c \le \frac{|x|^{\gamma} + |y|^{\gamma}}{(x^2 + y^2)^{\gamma/2}} \le C $
raccogliendo a fattor comune $|x|^{\gamma} $ (e quindi ammettendo implicitamente che $x \ne 0 $) si ha:
$ c \le \frac{1 + |y/x|^{\gamma}}{(1 + |y/x|^2)^{\gamma/2}} \le C $
A questo punto, posto $t := |y/x| $, si ha:
$ c \le \frac{1 + t^{\gamma}}{(1 + t^2)^{\gamma/2}} \le C $
cioè proprio
$ c \le h(t) \le C $
Dato che $t := |y/x| $, nulla vieta che possa essere $y = 0 $ e di conseguenza $t = 0 $: quindi secondo me è proprio $t \ge 0 $. Se però proprio si vuole insistere con $t > 0 $, allora ad esempio per $\gamma =1 $ non c'è il minimo nel punto $L(0,1)$ mentre si ha un massimo nel punto $M(1,\sqrt2)$; ad esempio per $\gamma =3>2 $ si ha un minimo nel punto $L(1,1/\sqrt2)$, ma non si ha il massimo nel punto $M(0,1)$. Comunque è sempre possibile trovare le due costanti $c$ e $C$, che significa che la funzione $h(t) $ è superiormente ed inferiormente limitata (non varranno più i segni di uguaglianza, ma ce ne faremo una ragione...
)
$ c \le \frac{|x|^{\gamma} + |y|^{\gamma}}{(x^2 + y^2)^{\gamma/2}} \le C $
raccogliendo a fattor comune $|x|^{\gamma} $ (e quindi ammettendo implicitamente che $x \ne 0 $) si ha:
$ c \le \frac{1 + |y/x|^{\gamma}}{(1 + |y/x|^2)^{\gamma/2}} \le C $
A questo punto, posto $t := |y/x| $, si ha:
$ c \le \frac{1 + t^{\gamma}}{(1 + t^2)^{\gamma/2}} \le C $
cioè proprio
$ c \le h(t) \le C $
Dato che $t := |y/x| $, nulla vieta che possa essere $y = 0 $ e di conseguenza $t = 0 $: quindi secondo me è proprio $t \ge 0 $. Se però proprio si vuole insistere con $t > 0 $, allora ad esempio per $\gamma =1 $ non c'è il minimo nel punto $L(0,1)$ mentre si ha un massimo nel punto $M(1,\sqrt2)$; ad esempio per $\gamma =3>2 $ si ha un minimo nel punto $L(1,1/\sqrt2)$, ma non si ha il massimo nel punto $M(0,1)$. Comunque è sempre possibile trovare le due costanti $c$ e $C$, che significa che la funzione $h(t) $ è superiormente ed inferiormente limitata (non varranno più i segni di uguaglianza, ma ce ne faremo una ragione...
)
"pilloeffe":
$ c \le h(t) \le C $
Dato che $t := |y/x| $, nulla vieta che possa essere $y = 0 $ e di conseguenza $t = 0 $: quindi secondo me è proprio $t \ge 0 $.
In teoria $y!=0$ viene dal fatto che si sta dividendo in casi e stiamo trattando quello in cui $x!=0$ e $y!=0$ perciò $t>0$.
"pilloeffe":
Dato che $t := |y/x| $, nulla vieta che possa essere $y = 0 $ e di conseguenza $t = 0 $: quindi secondo me è proprio $t \ge 0 $. Se però proprio si vuole insistere con $t > 0 $, allora ad esempio per $\gamma =1 $ non c'è il minimo nel punto $L(0,1)$ mentre si ha un massimo nel punto $M(1,\sqrt2)$; ad esempio per $\gamma =3>2 $ si ha un minimo nel punto $L(1,1/\sqrt2)$, ma non si ha il massimo nel punto $M(0,1)$. Comunque è sempre possibile trovare le due costanti $c$ e $C$, che significa che la funzione $h(t) $ è superiormente ed inferiormente limitata (non varranno più i segni di uguaglianza, ma ce ne faremo una ragione...
Comunque ho avuto la tua stessa idea perciò ho voluto scrivere questa discussione per vedere se avessi sbagliato qualcosa o meno
"andreadel1988":
In teoria $y \ne 0 $ viene dal fatto che si sta dividendo in casi e stiamo trattando quello in cui $x \ne 0 $ e $y \ne 0 $ perciò $t > 0$.
Non sono d'accordo sulla conclusione, perché di fatto quella relazione la puoi scrivere anche nel caso $y = 0 $ e $x \ne 0 $ contemplata nella seconda parte del secondo caso: perciò secondo me è proprio $t \ge 0 $ se si vogliono i massimi ed i minimi, altrimenti basta accontentarsi delle costanti $c$ e $C$, cioè si accetterà che per $ 0 < \gamma < 2 $ sia $c < h(t) \le C $ mentre per $\gamma > 2 $ sia $c \le h(t) < C $
"pilloeffe":
Non sono d'accordo sulla conclusione, perché di fatto quella relazione la puoi scrivere anche nel caso $y = 0 $ e $x \ne 0 $ contemplata nella seconda parte del secondo caso
Si ok ma io mi sto rifacendo al caso mostrato nella foto dove fa $x!= 0$ e $y!=0$ perciò è $t>0$, poi come hai detto tu è ovviamente giusto, ma io stavo seguendo quella suddivisione, dato che il caso $y=0$ l'ha già trattato come caso a parte.
Beh, ma quella suddivisione in casi è del tutto arbitraria e probabilmente suggerita per maggiore semplicità di dimostrazione. Nulla vieterebbe di considerare i casi seguenti:
1) $x = 0 ^^ y = 0 $;
2) $x = 0 ^^ y \ne 0 $;
3) $x \ne 0 ^^ (y \ne 0 vv y = 0) $
Resta il fatto che la funzione $h(t) $ è definita anche per $t = 0 $ e si ha $h(0) = 1 $, ma soprattutto che se si assume $t > 0 $ è proprio così come hai scritto nell'OP:
Se invece si assume correttamente $t \ge 0 $ allora il discorso diventa coerente con la richiesta finale "e concludere osservando che $h$ ha minimo e massimo positivi"
1) $x = 0 ^^ y = 0 $;
2) $x = 0 ^^ y \ne 0 $;
3) $x \ne 0 ^^ (y \ne 0 vv y = 0) $
Resta il fatto che la funzione $h(t) $ è definita anche per $t = 0 $ e si ha $h(0) = 1 $, ma soprattutto che se si assume $t > 0 $ è proprio così come hai scritto nell'OP:
"andreadel1988":
non mi risulta che ci siano contemporaneamente un massimo e minimo per $h$.
Se invece si assume correttamente $t \ge 0 $ allora il discorso diventa coerente con la richiesta finale "e concludere osservando che $h$ ha minimo e massimo positivi"
"pilloeffe":
Beh, ma quella suddivisione in casi è del tutto arbitraria e probabilmente suggerita per maggiore semplicità di dimostrazione. Nulla vieterebbe di considerare i casi seguenti:
1) $x = 0 ^^ y = 0 $;
2) $x = 0 ^^ y \ne 0 $;
3) $x \ne 0 ^^ (y \ne 0 vv y = 0) $
Resta il fatto che la funzione $h(t) $ è definita anche per $t = 0 $ e si ha $h(0) = 1 $, ma soprattutto che se si assume $t > 0 $ è proprio così come hai scritto nell'OP:
Se invece si assume correttamente $t \ge 0 $ allora il discorso diventa coerente con la richiesta finale "e concludere osservando che $h$ ha minimo e massimo positivi"
Si assolutamente era solo per capire se nella suddivisione fatta fosse sbagliato o meno l esistenza contemporanea di massimo e minimo
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo