Studio di una funzione

[Aletzunny1]

Ho trovato questo esercizio che è molto simile allo studio di funzione perchè chiedi di calcolare la derivata prima, seconda, i punti di discontinuità e i segni delle varie derivate.
ho diversi dubbi sullo svolgimento quindi chiedo a voi se potete aiutarmi. Grazie

$f(x)=|x^2-1|^(1/2) + x$

ho riscritto $f(x)$ a sistema come

$f(x)=sqrt(x^2-1)+x$ se $x<=-1 vv x>=1$

$f(x)=sqrt(-x^2+1)+x$ se $-1
fino a qui è corretto?

poi, mantenendo il sistema, ho calcolato $f'(x)$

$f'(x)= x/(sqrt(x^2-1))+1$ se $x<-1 vv x>1$

$f'(x)= -x/(sqrt(-x^2+1))+1$ se $-1
è corretto?
adesso ho un dubbio sul calcolo dei limiti in $x=1$ e $x=-1$

$lim_(x->1^+) x/(sqrt(x^2-1))+1=+ infty$

$lim_(x->1^-) -x/(sqrt(-x^2+1))+1=- infty$

corretto? dunque $x=1$ è un punto di cuspide

$lim_(x->-1^+) -x/(sqrt(-x^2+1))+1=+ infty$

$lim_(x->-1^-) x/(sqrt(x^2-1))+1=- infty$

su questi ultimi due limiti ho qualche dubbio...sono corretti?
dunque dai miei calcoli risulterebbe che $x=-1$ è un punto di cuspide.

infine ho calcolato la derivata seconda:

$f''(x)=sqrt(x^2-1) +x(-1/2)(x^2-1)^(-3/2)(2x)$ se $x<-1 vv x>1$

$f''(x)=-sqrt(-x^2+1) -x(-1/2)(-x^2+1)^(-3/2)(-2x)$

è corretta la derivata seconda?

inoltre sto trovando difficoltà a studiare il segno di f''(x)...qualcuno può darmi una mano anche su quest'ultimo punto?

infine chiedo a voi...c'è un modo più veloce per studiare il segno di $f'(x)$ e $f''(x)$ nel caso ci siano i moduli?

grazie infinite a chi mi aiuterà.

[Zero87]

Sono arrugginito con la matematica, ma due teste sono meglio di una: provo a darti una mano.

"Aletzunny":ho riscritto $f(x)$ a sistema come
$f(x)=sqrt(x^2-1)+x$ se $x<=-1 vv x>=1$
$f(x)=sqrt(-x^2+1)+x$ se $-1 fino a qui è corretto?

Sì, potevi anche fare tutto insieme, ma io avrei separato come te (nella fattispecie io sono sempre stato un po' pasticcione, lo facevo anche per evitare errori).

poi, mantenendo il sistema, ho calcolato $f'(x)$
$f'(x)= x/(sqrt(x^2-1))+1$ se $x<-1 vv x>1$
$f'(x)= -x/(sqrt(-x^2+1))+1$ se $-1 è corretto?

Mi viene uguale a te. Ti dico la verità, all'inizio mi chiedevo che fine avesse fatto l'$1/2$ della derivata della radice ma poi ho scoperto che dimenticavo di derivare l'argomento (quindi si semplifica con il $2x$). Se oltre alla ruggine ci metto tanti pranzi e cene sotto le festività, direi che mi hanno fatto questo effetto.

adesso ho un dubbio sul calcolo dei limiti in $x=1$ e $x=-1$
$lim_(x->1^+) x/(sqrt(x^2-1))+1=+ infty$
$lim_(x->1^-) -x/(sqrt(-x^2+1))+1=- infty$

Mi vengono uguali i limiti.

corretto? dunque $x=1$ è un punto di cuspide

Sapevo che la cuspide corrispondeva a limiti diversi ma finiti. Per limiti infiniti direi asintoto (verticale)...

$lim_(x->-1^+) -x/(sqrt(-x^2+1))+1=+ infty$
$lim_(x->-1^-) x/(sqrt(x^2-1))+1=- infty$

Capisco i tuoi dubbi perché il segno meno e il termine $-x$ al numeratore si può dare luogo molto facilmente a errori di segno. Comunque mi vengono come te anche questi due limiti, per il resto direi la stessa cosa di prima riguardo alla cuspide.

infine ho calcolato la derivata seconda:
$f''(x)=sqrt(x^2-1) +x(-1/2)(x^2-1)^(-3/2)(2x)$ se $x<-1 vv x>1$
$f''(x)=-sqrt(-x^2+1) -x(-1/2)(-x^2+1)^(-3/2)(-2x)$

Mi viene diversa in entrambi i casi, ma forse sono io che sbaglio qualcosa. A titolo di esempio - davvero, non è detto che ci prendo (non ero un drago nei calcoli nemmeno all'università!) - ne faccio una in modo completo.
Vado a derivare di nuovo $f'(x)= x/(sqrt(x^2-1))+1$ se $x<-1 vv x>1$
$f''(x) = D(x/(sqrt(x^2-1)))+ D(1) = \frac{1}{sqrt(x^2-1)}-x\frac{x/(sqrt(x^2-1))}{(sqrt(x^2-1))^2}=...$
[size=70](metto i puntini perché vado a capo, non mi regolo mai con il latex su quanto possono diventare voluminose le formule )[/size]
$... = \frac{1}{sqrt(x^2-1)}-\frac{x^2}{(x^2-1)sqrt(x^2-1)}$
Per lo studio magari in un secondo momento, intanto vediamo se è corretta.

Spero che ti ho dato una mano, vorrei davvero riprendere il (poco) smalto di un tempo e mi fa piacere se riesco ad esserti utile.
Buon anno.

[ciampax]

Un punto di cuspide è un punto per cui vengono limiti destro e sinistro infiniti e opposti, per cui i punti $x=\pm 1$ sono cuspidi.
Gli asintoti si ottengono dai limiti di funzione, ma qua stiamo analizzando la derivabilità.

Per la derivata seconda, ad esempio del ramo definito per $x<-1,\ x>1$ procedi così:
$$D\left[\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}+1\right]=\frac{1\cdot\sqrt{x^2-1}-x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=\frac{x^2-1-x^2}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}=-\frac{1}{(x^2-1)^{3/2}}$$
e puoi osservare facilmente che tale derivata risulta sempre negativa sul suo dominio di definizione.
Per l'altra
$$D\left[-\frac{x}{\sqrt{-x^2+1}}+1\right]=-\frac{1\cdot\sqrt{-x^2+1}-x\cdot\frac{-x}{\sqrt{-x^2+1}}}{-x^2+1}=-\frac{-x^2+1+x^2}{(-x^2+1)\sqrt{-x^2+1}}=-\frac{1}{(-x^2+1)^{3/2}}$$
e risulta di nuovo sempre negativa.

[Aletzunny1]

Grazie mille! Quindi i conti precedenti sono corretti?

[Aletzunny1]

"ciampax":Un punto di cuspide è un punto per cui vengono limiti destro e sinistro infiniti e opposti, per cui i punti $x=\pm 1$ sono cuspidi.
Gli asintoti si ottengono dai limiti di funzione, ma qua stiamo analizzando la derivabilità.

Per la derivata seconda, ad esempio del ramo definito per $x<-1,\ x>1$ procedi così:
$$D\left[\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}+1\right]=\frac{1\cdot\sqrt{x^2-1}-x\cdot\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=\frac{x^2-1-x^2}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}}=-\frac{1}{(x^2-1)^{3/2}}$$
e puoi osservare facilmente che tale derivata risulta sempre negativa sul suo dominio di definizione.
Per l'altra
$$D\left[\frac{x}{\sqrt{-x^2+1}}+1\right]=\frac{1\cdot\sqrt{-x^2+1}-x\cdot\frac{-x}{\sqrt{-x^2+1}}}{-x^2+1}=\frac{-x^2+1+x^2}{(-x^2+1)\sqrt{-x^2+1}}=\frac{1}{(-x^2+1)^{3/2}}$$
e stavolta risulta sempre positiva.

Ho provato a risolverla così e mi viene identica tuttavia io, come lei, trovo che $f''(x)>0$ sempre nel caso in cui $-11$ ma nelle soluzioni c'è scritto che $f"(x)<0$ sempre per ogni $x!=+-1$ e quindi la concavità è sempre rivolta verso il basso(come appunto il grafico approssimativo conferma).
Io non capisco però dove stia sbagliando...
Mi pare che $f'(x)$ sia corretto e di conseguenza anche $f"(x)$

Riesce ad aiutarmi? Grazie

[ciampax]

Errore mio: mi sono dimenticato un $-$ nel secondo caso. Ho corretto.

[Aletzunny1]

Grazie infinite ancora! Ora torna tutto