Studio di una funz. a 2 var con un parametro (max, min, sella)

[dontrok1]

Mi scuso per il titolo lungo ma non sapevo come descrivere il problema.

Salve, questo è il mio secondo topic dove chiedo aiuto su un problema riguardare l'Analisi 2. Questa volta incentrato sull'ottimizzazione libera di una funzione a 2 variabili.

$f(x,y) = x^2 + y^2 + 2 \alpha xy$

(con vincolo: $ x + y = 1$ analizzato nel mio post successivo)

Il problema vuole che si trovino max, min assoluti e relativi in $RR^2$ di $f$ al variare del parametro $\alpha in RR$.

Così ho proceduto ponendo $\grad f = 0$ e ottenendo così:

$\{(2x + 2 \alpha y = 0),(2y + 2 \alpha x = 0):}$

quindi:

$\{((1 - \alpha ^2)x = 0),(y = - \alpha x):}$

Intanto scriviamo la matrice Hessiana:

$Hf(x,y) = ((2, 2\alpha),(2\alpha, 2))$

Notiamo come la matrice dipende solo dal parametro $\alpha$

Scriviamo il determinante della matrice:

$|(2, 2\alpha),(2\alpha, 2)| = 4 - 4 \alpha ^2$

Quindi è evidente che bisogna studiare la funzione in 3 casi:

1) $-1 < \alpha < 1$
2) $\alpha < -1 vv \alpha > 1$
3) $\alpha = -1 vv \alpha = 1$

Nei primi 2 casi notiamo che $(1 - \alpha ^2)x = 0$ ci faccia ottenere $x = 0$ e quindi anche $y=0$, quindi, anche se l'Hessiana non dipende dalle variabili sappiamo che stiamo lavorando sul (unico) punto critico $(0,0)$

1) Col parametro $-1 < \alpha < 1$ abbiamo $Hf > 0$, e siccome il primo elemento dell'Hessiana è positivo, abbiamo un pt. di minimo, che scopriamo anche assoluto.

2) Col parametro $\alpha < -1 vv \alpha > 1$ abbiamo $Hf < 0$, quindi è un pt. di sella.

3) Col parametro $\alpha = -1 vv \alpha = 1$ abbiamo $Hf = 0$, chiamato "caso dubbio" che bisogna studiare a parte con un qualche metodo, e io decido di usa il "metodo del segno" con la variazione $f(x,y) - f(x_0, y_0)$

Procedendo con la risoluzione del 3° caso, notiamo che impostando il parametro $\alpha = +- 1$ otteniamo, nel sistema, $0 = 0$, quindi non conosciamo a priori il valore di $x$, però conosciamo la seconda equazione del sistema che è:

$\{(\alpha = +-1),(y = +-x):}$

Difatti, facendo la restrizione della $f(x,y)$ per $y = +-x$ (in base al valore del parametro $\alpha$) otteniamo che:

$f(x,+-x) = 0$

Quindi per tutt'e 2 le bisettrici, nei rispettivi casi di $\alpha$, si ha sempre il valore zero. Da qui capiamo che per tutta la retta bisettrice ci sono punti critici $(x,+-x)$. Utilizziamo il metodo del segno e capiamo se essi sono un pts. di min o di max (sicuramente non sella perché il suo andamento non è mai così).

Caso $\alpha = +-1$

$f(x,y) = x^2 + y^2 + 2xy$
$f(x,-+x) = x^2 + x^2 - 2x^2 = 0$

$f(x,y) - f(x,+-x) >= 0$
$f(x,y) >= 0$
$(x +- y)^2 >= 0 rArr sempre$

mentre nel caso

$(x +- y)^2 < 0 rArr mai$

Quindi significa che tutta la bisettrice $y = +-x$ è composta da pts. di minimo, quindi posso scrivere (credo) che $(x,+-x)$ pts. min $AAx in RR$

E' tutto corretto?

(P.s.: Che fatica scrivere tutto per bene! E' la seconda volta che uso questa funzionalità del sito per scrivere bene le funzioni, però è comodo )

(P.s.s.: In realtà $y = +- x$ non è corretto, vorrei scrivere "-+" ma non riesco)

[cata140793]

Ciao, ma il vincolo in tutti questi calcoli non lo hai considerato, perchè?

[cata140793]

Questo è un problema di ottimizzazione parametrizzato con uguaglianza, poi procedere in due modi:
Lagrangiana
Esplicitazione del vincolo entro la funzione obiettivo

[dontrok1]

Sottolineo che il testo dell'esercizio mi chiedeva prima di fare l'ottimizzazione libera, senza tener conto del vincolo, e poi di tener conto del vincolo.

Volevo sapere se avevo svolto bene tutti i passaggi per l'ottimizzazione libera, ecco perché non ho continuato con quella vincolata.

Per quella con il vincolo, siccome è una funzione aperta e illimitata, e in più è anche un piano, ho esplicitato $x+y=1$ in $y = 1-x$ e ho fatto la restrizione alla funzione principale $f(x,y)$ ottenendo:

$f(x,1-x) = (2-2\alpha)x^2 - (2-2\alpha)x + 1$

Ottengo una parabola e ho distinto 3 casi:

Caso $\alpha > 1$

Parabola rovesciata.

${(y_v = -b/(2a) = 1/2),(x_v = 1 - 1/2 = 1/2),(z_v = f(1/2,1/2) = 1/2\alpha + 1/2):}$

Pt. di massimo (assoluto?) vincolato: $(x_v, y_v)$ e cioè $(1/2, 1/2)$

Caso $\alpha < 1$

Parabola.

${(y_v = -b/(2a) = 1/2),(x_v = 1 - 1/2 = 1/2),(z_v = f(1/2,1/2) = 1/2\alpha + 1/2):}$

Pt. di minimo (assoluto?) vincolato: $(x_v, y_v)$ e cioè $(1/2, 1/2)$

Caso $\alpha = 1$

Retta.

$f(x,1-x) = 1$ quindi "funzione costante"

Significa che $AAx in RR$ ho un valore costante, allora:

Pts. di minimo (assoluto?) vincolati: $(x, 1-x)$

[cata140793]

Scusami, non avevo letto con attenzione la consegna per questo chiedevo, i passaggi sono giusti, per capire se sono punti assoluti nel caso di ottimizzazione libera controlla se la funzione è concava o convessa (strettamente), nel caso di concavità avrai che il punto è massimo assoluto, se hai più punti a tua disposizione sostituisci i punti candidati nella funzione, il punto sarà assoluto per il valore della funzione più grande. Nel caso del vincolo invece devi anche studiare il vincolo e vedere se è convesso (la verifica è semplice: fai una combinazione lineare dei punti che appartengono al vincolo, se per ogni combinazione lineare il segmento che congiunge i due punti è dentro l'insieme ammissibile allora il vincolo è convesso).
Ciao