Studio di una forma differenziale
Ragazzi, ho bisogno di voi per un chiarimento teorico e pratico sulle forme differenziali.
Studio l'esame di Analisi II ad Ingegneria e devo calcolare spesso la primitiva (più, spesso, l'integrale curvilineo) di una forma differenziale. Sinceramente ero sicuro di fare bene con un dato procedimento, ma all'ultimo scritto (che è andato così e così), la mia professoressa non me l'ha dato per buono e mi ha fatto presente che il procedimento è concettualmente sbagliato.
$omega = alpha dx + beta dy$
Il primo passo nel calcolo di una forma differenziale è sicuramente il calcolo del dominio dei due coefficienti, ok.
Ora, io inizialmente controllavo sempre che: $(dalpha)/dy = (dbeta)/dx$ e, se c'era corrispondenza, procedevo con il calcolo della primitiva. Ora, non capisco dov'è l'errore concettuale.. Dire che quell'uguaglianza è corretta non vuol dire sottindere che la forma sia esatta e che quindi $domega = F$ ?
Spero di essermi spiegato bene, grazie per l'aiuto.
Studio l'esame di Analisi II ad Ingegneria e devo calcolare spesso la primitiva (più, spesso, l'integrale curvilineo) di una forma differenziale. Sinceramente ero sicuro di fare bene con un dato procedimento, ma all'ultimo scritto (che è andato così e così), la mia professoressa non me l'ha dato per buono e mi ha fatto presente che il procedimento è concettualmente sbagliato.
$omega = alpha dx + beta dy$
Il primo passo nel calcolo di una forma differenziale è sicuramente il calcolo del dominio dei due coefficienti, ok.
Ora, io inizialmente controllavo sempre che: $(dalpha)/dy = (dbeta)/dx$ e, se c'era corrispondenza, procedevo con il calcolo della primitiva. Ora, non capisco dov'è l'errore concettuale.. Dire che quell'uguaglianza è corretta non vuol dire sottindere che la forma sia esatta e che quindi $domega = F$ ?
Spero di essermi spiegato bene, grazie per l'aiuto.
Risposte
"Mr.Mazzarr":
Dire che quell'uguaglianza è corretta non vuol dire sottindere che la forma sia esatta e che quindi $domega = F$ ?.
Non capisco bene cosa vuoi dire con "sottintendere" ma direi di no. Vale quello che dici tu solo se il dominio è semplicemente connesso.
E aggiungo: non confondere i simboli di derivata parziale e totale. La condizione per la chiusura è
\[
\frac{\partial \alpha}{\partial y}=\frac{\partial \beta}{\partial x}.\]
In questo caso non c'è rischio di confusione, ma in altri casi si che ci sarà. Meglio non prendere cattive abitudini
\[
\frac{\partial \alpha}{\partial y}=\frac{\partial \beta}{\partial x}.\]
In questo caso non c'è rischio di confusione, ma in altri casi si che ci sarà. Meglio non prendere cattive abitudini
Si scusa, ho sbagliato con i simboli.
@Emar:
quindi il passo successivo al calcolo del dominio è controllare se ci troviamo in un insieme semplicemente connesso?
@Emar:
quindi il passo successivo al calcolo del dominio è controllare se ci troviamo in un insieme semplicemente connesso?
Beh, diciamo di sì. Se il dominio è semplicemente connesso e la forma è chiusa allora essa è anche esatta (lemma di Poincarè) ed esiste quindi una primitiva in tutto il dominio. Altrimenti non hai informazioni utili sull'esistenza di una primitiva globale nel dominio.
Quindi calcolo il dominio, controllo che esso sia semplicemente connesso, controllo che le derivate parziale ''incrociate'' siano uguali: se sussistono le condizioni appena dette, calcolo la primitiva.
No! La matematica é fatta di teoremi, di implicazioni, di condizioni necessarie e sufficienti, non di liste della spesa. In ogni caso dovrebbe essere una cosa cosí:
[list=1]
[*:2lb4emkr]Identifichiamo il dominio della forma. Verifichiamo che sia \(C^1\).
[/*:m:2lb4emkr]
[*:2lb4emkr]Verifichiamo che la forma sia chiusa[nota]Dipende dagli autori, ma in alcuni casi sarebbe meglio parlare di dominio di chiusura della forma, che potrebbe non coincidere con tutto il dominio di esistenza[/nota] \(d\omega = 0 \) ovvero \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\) (in dimensione due equivale a controllare l'uguaglianza delle derivate incrociate)
------------------------------------------
Abbiamo verificato le condizione necessarie (ma ovviamente non sufficienti) per l'esistenza della primitiva. La primitiva dunque, può esistere o anche no.
------------------------------------------
[/*:m:2lb4emkr]
[*:2lb4emkr]Se il dominio é semplicemente connesso, sappiamo per certo che una primitiva esiste in tutto il dominio, passiamo con serenità al punto 5.
[/*:m:2lb4emkr]
[*:2lb4emkr]Se il dominio non é semplicemente connesso proseguiamo con molta attenzione al punto 5.
[/*:m:2lb4emkr]
[*:2lb4emkr]Calcoliamo la primitiva tramite integrazione. Se il dominio non é semplicemente connesso dobbiamo prestare la massima attenzione perché l'esistenza non é assicurata in tutto il dominio[/*:m:2lb4emkr][/list:o:2lb4emkr]
Nel caso ci troviamo al punto 4 non saprei bene che consigli tecnici dare... E' una situazione delicata
[list=1]
[*:2lb4emkr]Identifichiamo il dominio della forma. Verifichiamo che sia \(C^1\).
[/*:m:2lb4emkr]
[*:2lb4emkr]Verifichiamo che la forma sia chiusa[nota]Dipende dagli autori, ma in alcuni casi sarebbe meglio parlare di dominio di chiusura della forma, che potrebbe non coincidere con tutto il dominio di esistenza[/nota] \(d\omega = 0 \) ovvero \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\) (in dimensione due equivale a controllare l'uguaglianza delle derivate incrociate)
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Abbiamo verificato le condizione necessarie (ma ovviamente non sufficienti) per l'esistenza della primitiva. La primitiva dunque, può esistere o anche no.
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[*:2lb4emkr]Se il dominio é semplicemente connesso, sappiamo per certo che una primitiva esiste in tutto il dominio, passiamo con serenità al punto 5.
[/*:m:2lb4emkr]
[*:2lb4emkr]Se il dominio non é semplicemente connesso proseguiamo con molta attenzione al punto 5.
[/*:m:2lb4emkr]
[*:2lb4emkr]Calcoliamo la primitiva tramite integrazione. Se il dominio non é semplicemente connesso dobbiamo prestare la massima attenzione perché l'esistenza non é assicurata in tutto il dominio[/*:m:2lb4emkr][/list:o:2lb4emkr]
Nel caso ci troviamo al punto 4 non saprei bene che consigli tecnici dare... E' una situazione delicata
Grazie mille per l'ottimo post Emar.
Posso chiederti come controllare che un il dominio è semplicemente connesso ?
Posso chiederti come controllare che un il dominio è semplicemente connesso ?
"Mr.Mazzarr":
Grazie mille per l'ottimo post Emar.
Posso chiederti come controllare che un il dominio è semplicemente connesso ?
Non vi è un metodo analitico, solitamente si vede a occhio. Insomma, la definizione di semplicemente connesso aiuta già a discriminare i vari insiemi.
Un insieme semplicemente connesso è tale '' se non ha buchi '', se è costituito da un solo pezzo.
Suona male, ma è la definizione che ho sempre studiato. Quando dici che '' si vede ad occhio '', intendi dire che occorre calcolare il dominio ed osservare se ci sono punti in cui la funzione non è definita?
Potresti farmi qualche esempio? Te ne sarei davvero grato!
Suona male, ma è la definizione che ho sempre studiato. Quando dici che '' si vede ad occhio '', intendi dire che occorre calcolare il dominio ed osservare se ci sono punti in cui la funzione non è definita?
Potresti farmi qualche esempio? Te ne sarei davvero grato!
A rigore la valutazione di connettività semplice di un insieme è indipendente dalla funzione. È chiaro che questa entra in gioco se devi valutare il suo dominio e la proprietà di connettività semplice per esso.
Un aperto $Omega$ si dice connesso se presi due suoi punti esiste un arco di curva continuo che li congiunge ed è interno a $Omega$.
L'aperto $Omega$ si dice semplicemente connesso se è connesso e se ogni curva semplice, chiusa, contenuta in esso può essere ridotta a un punto mediante una deformazione continua (omotopia), senza uscire da $Omega$.
Date queste definizioni intuitive puoi facilmente osservare che, ad esempio:
Nel piano
— sono semplicemente connessi: cerchi, ellissi, poligoni, semipiani e le figure piane ottenute da queste per deformazione continua; il piano stesso, il piano privato di una semiretta.
— non sono semplicemente connessi: il piano, un cerchio, un poligono privati di un punto; una corona circolare.
Nello spazio
— sono semplicemente connessi: sfere, ellissoidi, poliedri convessi e i solidi ottenuti da questi per deformazione continua; una corona sferica, lo spazio privato di un numero finito di punti.
— non sono semplicemente connessi: il toro, la sfera privata di un diametro, lo spazio privato di una retta.
Ad esempio la funzione definita sui reali $f(x,y)=x/(x^2+y^2)$ ha per dominio $D$ l'insieme dei punti del piano $xy$ privato dell'origine; pertanto $D$ non è semplicemente connesso.
Un aperto $Omega$ si dice connesso se presi due suoi punti esiste un arco di curva continuo che li congiunge ed è interno a $Omega$.
L'aperto $Omega$ si dice semplicemente connesso se è connesso e se ogni curva semplice, chiusa, contenuta in esso può essere ridotta a un punto mediante una deformazione continua (omotopia), senza uscire da $Omega$.
Date queste definizioni intuitive puoi facilmente osservare che, ad esempio:
Nel piano
— sono semplicemente connessi: cerchi, ellissi, poligoni, semipiani e le figure piane ottenute da queste per deformazione continua; il piano stesso, il piano privato di una semiretta.
— non sono semplicemente connessi: il piano, un cerchio, un poligono privati di un punto; una corona circolare.
Nello spazio
— sono semplicemente connessi: sfere, ellissoidi, poliedri convessi e i solidi ottenuti da questi per deformazione continua; una corona sferica, lo spazio privato di un numero finito di punti.
— non sono semplicemente connessi: il toro, la sfera privata di un diametro, lo spazio privato di una retta.
Ad esempio la funzione definita sui reali $f(x,y)=x/(x^2+y^2)$ ha per dominio $D$ l'insieme dei punti del piano $xy$ privato dell'origine; pertanto $D$ non è semplicemente connesso.
Ah, ottimo. Ti ringrazio.
Quindi dalla '' semplice '' osservazione del dominio ottenuto posso dire se è o meno semplicemente connesso.
Ti ringrazio.
Posso chiederti perchè un piano privato di una semiretta è semplicemente connesso? La semiretta è un insieme infinito di punti e quindi ci sono punti non appartenenti all'insieme in questione.
Quindi dalla '' semplice '' osservazione del dominio ottenuto posso dire se è o meno semplicemente connesso.
Ti ringrazio.
Posso chiederti perchè un piano privato di una semiretta è semplicemente connesso? La semiretta è un insieme infinito di punti e quindi ci sono punti non appartenenti all'insieme in questione.
Perché il piano "restante" lo puoi chiudere su sé stesso come un "ventaglio" e poi ridurlo ad un punto. mentre se togli una retta ci sarà sempre un "di qua" e un "di là" ... 
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Ah ecco, grazie mille Alex.
Ma se il dominio non è semplicemente connesso e quindi la primitiva che viene fuori tramite integrazione potrebbe non essere parte del dominio, cosa occorre fare? Io credo che se calcolo una primitiva ed essa non è parte del mio dominio non semplicemente connesso devo giungere ad una conclusione: che non è possibile calcolare la primitiva di quella forma differenziale. Giusto?
Ma se il dominio non è semplicemente connesso e quindi la primitiva che viene fuori tramite integrazione potrebbe non essere parte del dominio, cosa occorre fare? Io credo che se calcolo una primitiva ed essa non è parte del mio dominio non semplicemente connesso devo giungere ad una conclusione: che non è possibile calcolare la primitiva di quella forma differenziale. Giusto?
"Emar":
No! La matematica é fatta di teoremi, di implicazioni, di condizioni necessarie e sufficienti, non di liste della spesa. In ogni caso dovrebbe essere una cosa cosí:
[list=1]
[*:3hvwwwi7]Identifichiamo il dominio della forma. Verifichiamo che sia \(C^1\).
[/*:m:3hvwwwi7]
[*:3hvwwwi7]Verifichiamo che la forma sia chiusa[nota]Dipende dagli autori, ma in alcuni casi sarebbe meglio parlare di dominio di chiusura della forma, che potrebbe non coincidere con tutto il dominio di esistenza[/nota] \(d\omega = 0 \) ovvero \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\) (in dimensione due equivale a controllare l'uguaglianza delle derivate incrociate)
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Abbiamo verificato le condizione necessarie (ma ovviamente non sufficienti) per l'esistenza della primitiva. La primitiva dunque, può esistere o anche no.
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[*:3hvwwwi7]Se il dominio é semplicemente connesso, sappiamo per certo che una primitiva esiste in tutto il dominio, passiamo con serenità al punto 5.
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[*:3hvwwwi7]Se il dominio non é semplicemente connesso proseguiamo con molta attenzione al punto 5.
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[*:3hvwwwi7]Calcoliamo la primitiva tramite integrazione. Se il dominio non é semplicemente connesso dobbiamo prestare la massima attenzione perché l'esistenza non é assicurata in tutto il dominio[/*:m:3hvwwwi7][/list:o:3hvwwwi7]
Nel caso ci troviamo al punto 4 non saprei bene che consigli tecnici dare... E' una situazione delicata
Come posso confermare che il dominio è di classe $C^1$ ?
La forma differenziale è di classe \(C^1\), non il dominio
Si scusami..
Classe $C^1$ nel dominio volevo dire. Come posso fare? Perché vuol dire che le derivate siano continue nel dominio; devo derivare non in modo incrociato e controllare che la funzione ottenuta sia nel dominio iniziale?
Classe $C^1$ nel dominio volevo dire. Come posso fare? Perché vuol dire che le derivate siano continue nel dominio; devo derivare non in modo incrociato e controllare che la funzione ottenuta sia nel dominio iniziale?
"Mr.Mazzarr":
devo derivare non in modo incrociato e controllare che la funzione ottenuta sia nel dominio iniziale?
Che vuol dire "derivare in modo incrociato"?
Le componenti della forma devono essere derivabili parzialmente in tutto il dominio e le derivate devono essere ivi continue.
Data una forma:
$f(x, y) = a(x, y) dx + b(x, y) dy$
per controllare che le derivate parziali siano continue nel dominio, devo derivare $a$ rispetto ad $x$ e $b$ rispetto ad $y$ e controllare che ciò che ottengo sia definito nel dominio?
$f(x, y) = a(x, y) dx + b(x, y) dy$
per controllare che le derivate parziali siano continue nel dominio, devo derivare $a$ rispetto ad $x$ e $b$ rispetto ad $y$ e controllare che ciò che ottengo sia definito nel dominio?
"Emar":
Le componenti della forma devono essere derivabili parzialmente in tutto il dominio e le derivate devono essere ivi continue.
Emar ho riscontrato alcune forme differenziali su domini non connessi.
In casi del genere, mi conviene direttamente calcolare una primitiva della forma differenziale e poi controllare che sia definita in tutto e solo il dominio? Perchè se non posso dire che la forma è esatta in quanto chiusa e in quanto posta in un dominio semplicemente connesso, l'unico modo per poter dire che una forma esatta è confermare che ammette una primitiva.
In casi del genere, mi conviene direttamente calcolare una primitiva della forma differenziale e poi controllare che sia definita in tutto e solo il dominio? Perchè se non posso dire che la forma è esatta in quanto chiusa e in quanto posta in un dominio semplicemente connesso, l'unico modo per poter dire che una forma esatta è confermare che ammette una primitiva.
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