Studio di una forma differenziale
L'esercizio è il seguente: data la forma differenziale $\omega = \frac{ y dx }{ \4x^2+y^2 } + \frac{ \betax dy }{ \4x^2+y^2 } $ si definiscano:
- $E sub RR^2$
- $\beta$ tale che la forma differenziale sia chiusa
- $\omega$ è una forma esatta?
- Inoltre, in corrispondenza del valore di $\beta$ trovato e dato $D={ (x,y) sub RR^2 | 4x^2+y^2 <=4, y>=sqrt(3) }$ indicare la parametrizzazione di $delD$ e calcolare $I = \int_(+delD) \omega$
Per i primi due punti, ossia l'insieme di definizione $E = RR^2 \\ (0,0)$ e il valore di $\beta$ non ho avuto problemi, infatti ponendo $F=(f_1,f_2)$ e $(delf_1)/(dely) = (delf_2)/(delx)$ si verifica che affinchè $\omega$ sia chiusa $\beta$ deve essere $-1$.
Non riesco a procedere perchè ho problemi nel trovare una primitiva di $f_2$ e quindi la funzione potenziale. Inoltre ho ancora problemi con il concetto di parametrizzazione e quindi ho problemi con l'impostazione dell'integrazione con la formula di Green.
Ho disegnato $D$ come la porzione di ellisse al di sopra della retta $y = sqrt(3)$.
Ringrazio in anticipo.
- $E sub RR^2$
- $\beta$ tale che la forma differenziale sia chiusa
- $\omega$ è una forma esatta?
- Inoltre, in corrispondenza del valore di $\beta$ trovato e dato $D={ (x,y) sub RR^2 | 4x^2+y^2 <=4, y>=sqrt(3) }$ indicare la parametrizzazione di $delD$ e calcolare $I = \int_(+delD) \omega$
Per i primi due punti, ossia l'insieme di definizione $E = RR^2 \\ (0,0)$ e il valore di $\beta$ non ho avuto problemi, infatti ponendo $F=(f_1,f_2)$ e $(delf_1)/(dely) = (delf_2)/(delx)$ si verifica che affinchè $\omega$ sia chiusa $\beta$ deve essere $-1$.
Non riesco a procedere perchè ho problemi nel trovare una primitiva di $f_2$ e quindi la funzione potenziale. Inoltre ho ancora problemi con il concetto di parametrizzazione e quindi ho problemi con l'impostazione dell'integrazione con la formula di Green.
Ho disegnato $D$ come la porzione di ellisse al di sopra della retta $y = sqrt(3)$.
Ringrazio in anticipo.
Risposte
Ringrazio per la chiarezza 
Se esiste la potenziale allora la forma è esatta, ma io nel continuare l'esercizio ho risolto così: per provare l'esattezza di questa forma, ho sfruttato la proprietà che enuncia "considerata una qualsiasi curva chiusa $\gamma(t)$ , se $\omega$ è esatta $\int_\gamma \omega = 0$ ".
Quindi ho considerato un'ellisse $\gamma(t)=( cost, 2sent )$ con $t$ $in$ $[0, 2pi]$ e integrando ho ottenuto
$\int_0^(2pi)[ f_1( \gamma(t) )(dot x(t))+f_2( \gamma(t) )(dot y(t)) ]dt =\int_0^(2pi)[ f_1( \gamma(t) )(-sent)+f_2( \gamma(t) )(2cost) ]dt$
ossia $\int_0^(2pi)[(-2(sent)^2 -2(cost)^2 )/4]dt = -pi$
Un risultato diverso da $0$ e da questo risultato posso concludere che $\omega$ non risulta essere esatta e ciò è in contrasto con la funzione potenziale trovata.
Per l'altra integrazione, applicando la formula di Green
$\int_(+delD)\omega=\int_(+delD)[ f_1(dx)+f_2(dy) ]=\int int_D[((delf_2)/(delx))-((delf_1)/(dely))]dxdy$ ottengo subito $0$
( infatti sto considerando $\beta=-1$ ) e quindi il risultato coincide.
Ulteriori pareri? Inoltre mi resta un altro dubbio: come posso indicare il bordo di $D$ parametrizzato?
Se esiste la potenziale allora la forma è esatta, ma io nel continuare l'esercizio ho risolto così: per provare l'esattezza di questa forma, ho sfruttato la proprietà che enuncia "considerata una qualsiasi curva chiusa $\gamma(t)$ , se $\omega$ è esatta $\int_\gamma \omega = 0$ ". Quindi ho considerato un'ellisse $\gamma(t)=( cost, 2sent )$ con $t$ $in$ $[0, 2pi]$ e integrando ho ottenuto
$\int_0^(2pi)[ f_1( \gamma(t) )(dot x(t))+f_2( \gamma(t) )(dot y(t)) ]dt =\int_0^(2pi)[ f_1( \gamma(t) )(-sent)+f_2( \gamma(t) )(2cost) ]dt$
ossia $\int_0^(2pi)[(-2(sent)^2 -2(cost)^2 )/4]dt = -pi$
Un risultato diverso da $0$ e da questo risultato posso concludere che $\omega$ non risulta essere esatta e ciò è in contrasto con la funzione potenziale trovata.
Per l'altra integrazione, applicando la formula di Green
$\int_(+delD)\omega=\int_(+delD)[ f_1(dx)+f_2(dy) ]=\int int_D[((delf_2)/(delx))-((delf_1)/(dely))]dxdy$ ottengo subito $0$
( infatti sto considerando $\beta=-1$ ) e quindi il risultato coincide.
Ulteriori pareri? Inoltre mi resta un altro dubbio: come posso indicare il bordo di $D$ parametrizzato?
Adesso mi è tutto molto più chiaro. 
Grande TeM
Grande TeM
@TeM: E si ma la tua primitiva non è definita su tutto $E$.
Mi pare che ora vada bene.
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