Studio di un limite al variare di un parametro reale

[Cris961]

L'esercizio mi chiede di studiare il limite al variare del parametro $\beta$ in $RR$. Il limite è questo
$\lim_{n \to \infty}log(\beta+1)^n/2^(1+n)$
Ho studiato che a $\beta=1$ il limite è $1/2$, a $\beta=0$ il limite è $0$. C'è altro da studiare?

[Alegomind]

Ciao, lo studio che hai fatto è incompleto, infatti nota che:

$beta> -1$ affinchè il logaritmo sia definito, poi:

se $log(beta+1)>2$ cioè per $beta>(e^2-1)$ il tuo limite tende a $+oo$

se $0<=beta<(e^2-1)$ il limite tende a 0

se $beta=(e^2-1)$ tende ad $1/2$

se $-1
se $-2

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[Cris961]

"Alegomind":se $-1
se $-2

Mi rispiegheresti quest'ultimo passaggio? Specie dove inserisci $(e^(-2)-1)$

[Alegomind]

Certo mi spiego subito. Se $beta<0$ ottieni il logaritmo di una quantità minore di 1 che ha un valore negativo. Finchè questa quantità negativa resta compresa tra -2 e 0 puoi ancora notare che: ($log(beta+1)=tau$)

\[\lim_{n \to \infty }\frac{1}{2}\frac{(-2<\tau <0)^n}{2^n}=0\]
dato che
\[\lim_{n \to \infty }x^n=0\,\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,|x|<1\,\,\,\,e\,\,\,\,\frac{-2<\tau <0}{2}<1\]

Ma quando effettivamente $log(beta+1)> -2$ ? Per $beta>(e^(-2)-1)$

Quando il logaritmo scende sotto -2, quindi $log(beta+1)<-2 => beta<=(e^(-2)-1)$ il limite non esiste, infatti
\[\lim_{n \to \infty }x^n\,\,\,non\,\,esiste\,\,se\,\,x\leq -1\]
Spero ora sia più chiaro

[francicko]

Ma e' $(log^n(beta+1))/(2^(n+1)) $ oppure $log(beta+1)^n/(2^(n+1))$ $=(nlog (beta+1))/(2^(n+1)) $, perché si avrebbero risultati differenti.

[Alegomind]

"francicko":Ma e' $(log^n(beta+1))/(2^(n+1)) $ oppure $log(beta+1)^n/(2^(n+1))$ $=(nlog (beta+1))/(2^(n+1)) $, perché si avrebbero risultati differenti.

Ciao, la domanda me la sono molta anche io e presumo che sia $log^n(beta+1)$, altrimenti l'esercizio terminerebbe senza alcuno studio e tra l'altro l'autore del post non mi ha corretto riguardo il testo che ho usato

[Cris961]

É la seconda forma

[Cris961]

$ log(beta+1)^n/(2^(n+1)) $ ragazzi è questo il limite, scusate se faccio "riup" ma spero di essermi spiegato bene