Studio di un limite al variare di un parametro!
Salve a tutti, oggi mentre svolgevo esercizi in preparazione dell'esame, mi sono imbattuto in questo esercizio che non sono riuscito a svolgere.
L'esercizio mi chiede si studiare il limite al variare di $x ∈ RR$.
Io ho provato a svolgere l'esercizio riconducendomi ad un limite notevole, ma arrivato ad un certo punto non riesco a proseguire. Quindi suppongo di sbagliare qualcosa.
Per prima cosa ho raccolto $(sin(x)-1)$, quindi:
$\lim_{n \to \infty}(sin(x)-1)^(n^2)*(1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)))^(n^2)$
Poi ho sistemato algebricamente per ricondurre il limite alla forma notevole:
$\lim_{n \to \infty}(sin(x)-1)^(n^2)*((1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)))^(n^2+1))/(1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)$
$\lim_{n \to \infty}(sin(x)-1)^(n^2)*((1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)))^(((n^2+1)*(sin(x)-1))^(1/(sin(x)-1))))/(1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)$
Tutto questo procedimento mi dovrebbe portare a studiare:
$\lim_{n \to \infty}(sin(x)-1)^(n^2)*((e)^(1/(sin(x)-1)))/(1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)$
Da qui in poi non saprei più come procedere. C'è qualcuno che mi salva?
$\lim_{n \to \infty}(sin(x)-1+1/(n^2+1))^(n^2)$
L'esercizio mi chiede si studiare il limite al variare di $x ∈ RR$.
Io ho provato a svolgere l'esercizio riconducendomi ad un limite notevole, ma arrivato ad un certo punto non riesco a proseguire. Quindi suppongo di sbagliare qualcosa.
Per prima cosa ho raccolto $(sin(x)-1)$, quindi:
$\lim_{n \to \infty}(sin(x)-1)^(n^2)*(1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)))^(n^2)$
Poi ho sistemato algebricamente per ricondurre il limite alla forma notevole:
$\lim_{n \to \infty}(sin(x)-1)^(n^2)*((1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)))^(n^2+1))/(1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)$
$\lim_{n \to \infty}(sin(x)-1)^(n^2)*((1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)))^(((n^2+1)*(sin(x)-1))^(1/(sin(x)-1))))/(1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)$
Tutto questo procedimento mi dovrebbe portare a studiare:
$\lim_{n \to \infty}(sin(x)-1)^(n^2)*((e)^(1/(sin(x)-1)))/(1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)$
Da qui in poi non saprei più come procedere. C'è qualcuno che mi salva?
Risposte
Ciao zxc,
Comincerei con l'osservare che affinché il limite proposto esista la quantità fra parentesi tonde deve essere positiva o al più nulla, quindi sicuramente non vanno bene tutti i valori di $x $ che rendono $sin(x) $ negativo o nullo. Per $ x = \pi/2 $ si ha $ sin(x) = 1 $ ed in tal caso il limite proposto risulta $0$.
Comincerei con l'osservare che affinché il limite proposto esista la quantità fra parentesi tonde deve essere positiva o al più nulla, quindi sicuramente non vanno bene tutti i valori di $x $ che rendono $sin(x) $ negativo o nullo. Per $ x = \pi/2 $ si ha $ sin(x) = 1 $ ed in tal caso il limite proposto risulta $0$.
"pilloeffe":
Ciao zxc,
Comincerei con l'osservare che la quantità fra parentesi tonde deve essere positiva o al più nulla, quindi sicuramente non vanno bene tutti i valori di $x $ che rendono $sin(x) $ negativo o nullo. Per $ x = \pi/2 $ si ha $ sin(x) = 1 $ ed in tal caso il limite proposto risulta $0$.
Ciao pilloeffe,
Quindi devo porre $(sin(x)-1) >= 0$ che ha come unica soluzione $x=pi/2+2kpi$. E quindi posso studiare il limite solo per $x=pi/2$ giusto? Grazie per la risposta!
Nessuno che riesce ad aiutarmi 
Da qui:
$ \lim_{n \to \infty}(sin(x)-1)^(n^2)*(1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)))^(n^2) $
studiati i limiti dei due fattori.
Il primo esiste finito e nullo se $-11$ e non esiste se $sin x -1<=-1$.
Il secondo esiste sempre finito a patto che $sin x-1!=0$.
Quindi...
$ \lim_{n \to \infty}(sin(x)-1)^(n^2)*(1+1/((n^2+1)*(sin(x)-1)))^(n^2) $
studiati i limiti dei due fattori.
Il primo esiste finito e nullo se $-1
Il secondo esiste sempre finito a patto che $sin x-1!=0$.
Quindi...
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