Studio di un limite.

[elpocholoco-votailprof]

sono un pò in difficoltà nello studio di questo limite:

$lim_(x->0) (1/(tgx) - (1/x))
poi come primo passaggio riscrivo la tangente come rapporto di seno su coseno.
$lim_(x->0) ((cosx)/(sinx)) - 1/x
però adesso da qui ho provato diverse cose tipo a fare il minimo comune multipo però non riesco a risolverlo
il risultato è 0.

Potreste darmi una mano?
GRAZIE

[strangolatoremancino]

potresti fare

$(1/tanx - 1/x)=(x-tanx)/(xtanx)\sim (x-tanx)/x^2=(x-(x+o(x^2)))/x^2=o(1)->0$

credo

[elpocholoco-votailprof]

"strangolatoremancino":potresti fare

$(1/tanx - 1/x)=(x-tanx)/(xtanx)\sim (x-tanx)/x^2=(x-(x+o(x^2)))/x^2=o(1)->0$

credo

ciao

vorrei risolverlo con l'aiuto di limiti notevoli. purtroppo non mi viene nulla.

[Seneca1]

"attila0906":[quote="strangolatoremancino"]potresti fare

$(1/tanx - 1/x)=(x-tanx)/(xtanx)\sim (x-tanx)/x^2=(x-(x+o(x^2)))/x^2=o(1)->0$

credo

ciao

vorrei risolverlo con l'aiuto di limiti notevoli. purtroppo non mi viene nulla.[/quote]

Lui ha usato i limiti notevoli.

Scrivere $lim_(x -> 0) tan(x)/x = 1$ è (sotto opportune ipotesi) come scrivere $tan(x) = x( 1 + o(1) ) = x + o(x)$

La funzione $tan(x)$ è una funzione dispari; il suo sviluppo di MacLaurin "salta" i termini pari. Quindi si può scrivere: $tan(x) = x + o(x^2)$

[elpocholoco-votailprof]

"Seneca":[quote="attila0906"][quote="strangolatoremancino"]potresti fare

$(1/tanx - 1/x)=(x-tanx)/(xtanx)\sim (x-tanx)/x^2=(x-(x+o(x^2)))/x^2=o(1)->0$

credo

ciao

vorrei risolverlo con l'aiuto di limiti notevoli. purtroppo non mi viene nulla.[/quote]

Lui ha usato i limiti notevoli.

Scrivere $lim_(x -> 0) tan(x)/x = 1$ è (sotto opportune ipotesi) come scrivere $tan(x) = x( 1 + o(1) ) = x + o(x)$

La funzione $tan(x)$ è una funzione dispari; il suo sviluppo di MacLaurin "salta" i termini pari. Quindi si può scrivere: $tan(x) = x + o(x^2)$[/quote]

io gli sviluppi di macLaurin non li ho studiati e non credo che il professore li "accetti" all'esame!

io sto provando a risolverlo così:

$\lim_{x \to \0} 1/(tgx) - 1/x
$\lim_{x \to \0} (cosx)/(senx) - 1/x
$\lim_{x \to \0} (x*cosx - senx)/(x*senx)
$\lim_{x \to \0} ((x*((cosx) - ((senx)/(x)))))/(x*senx)
$\lim_{x \to \0} (x/(senx) * ((cosx - 1) + 1 - ((senx)/(x)))/x

da qui in poi ho qualche difficoltà. Questi pasaggi credo vadino bene!

[elpocholoco-votailprof]

il limite l'ho risolto in questo modo:

$\lim_{x \to \0} 1/(tgx) - 1/x
$\lim_{x \to \0} (cosx)/(senx) - 1/x
$\lim_{x \to \0} (x*cosx - senx)/(x*senx)
$\lim_{x \to \0} ((x*((cosx) - ((senx)/(x)))))/(x*senx)
$\lim_{x \to \0} (x/(senx) * ((cosx - 1) + 1 - ((senx)/(x)))/x
$\lim_{x \to \0} (x/(senx) * ((cosx - 1)/(x) + (1/x) - ((senx)/(x^2)))
$\lim_{x \to \0} (x/(senx) * (((cosx - 1)/(x^2))*x + ((x-senx)/(x^2))) =
$ 1 * 0 * 0 = 0

Dovrebbero essere corretti tutti i passaggi.

[Gerrard1]

ciao non capisco come hai fatto a dividere i termini del numeratore per x al penultimo passaggio. Comunque io penso che il limite non sia risolvibile con i limiti notevoli perchè essi non sono sufficienti come approssimazione delle funzioni, in questo caso. Infatti se applichiamo il limite notevole $ lim_(x ->0)((tanx)/x)=1 $ cioè consideriamo per $ x -> 0 $ $ tanx = x $ , il limite diventa $ lim_(x -> 0)((1/x)-(1/x)) $ che non è zero ! Quello che accade è che le funzioni si annullano prima ancora che siano sottoposte al limite, perchè l'approssimazione di $ tanx = x $ è troppo imprecisa. Se, invece, con Taylor consideri gli sviluppi successivi della tangente vedrai come ha fatto strangolatoremancino che il limite ammette soluzione.