Studio di serie

[Hop Frog1]

Esercizio:
Studia la seguente serie:

[tex]\displaystyle\sum {n^x \over {n^{2x-1}+5} }[/tex]

SOLUZIONE: Risultato: La serie converge per x<-1 ∨ x>2;
diverge positivamente per -1≤ x ≤ 2.

Il problema è che a me non viene così.
io infatti ho ragionato così:
a infinito la serie tende a diventare questa:
[tex]\displaystyle\sum {n^x \over {n^{2x-1}} } = \displaystyle\sum {1 \over {n^{x-1}} }[/tex]

quindi la paragono alla serie armonica e pongo:

[tex]x-1 \leqslant 1[/tex] => la serie diverge
x-1>1 => la serie converge

quindi se[tex]x\leqslant 2[/tex] la serie diverge, se x>2 converge..
dov è il problema??

[Gatto891]

"Hop Frog":
a infinito la serie tende a diventare questa:
[tex]\displaystyle\sum {n^x \over {n^{2x-1}} }[/tex]

Suppongo il problema sia qui, il tuo $5$ è trascurabile solo se $n^(2x -1) \rarr +\infty$... se $n^(2x -1) \rarr 0$, allora la tua serie è asintotica invece a $\sumn^x/5$.

[Hop Frog1]

.. ma sei sicuro??

[Gatto891]

"Hop Frog":
Studia la seguente serie:
[tex]\displaystyle\sum {n^x \over {n^{2x-1}+5} }[/tex]
a infinito la serie tende a diventare questa:
[tex]\displaystyle\sum {n^x \over {n^{2x-1}} }[/tex]

Mettiamola così... "la serie tende a diventare questa" va interpretato che le due serie sono asintotiche, ovvero che il limite del loro generale tende a un valore finito diverso da 0 (e quindi hanno lo stesso comportamento).
Ma $lim_(n \rarr \infty) {n^x /{n^{2x-1}+5} } / {n^x / {n^{2x-1}} } = lim_(n \rarr \infty) {n^{2x-1}}/{n^{2x-1}+5}$ che come puoi notare non è sempre finito e diverso da zero...