Studio di semplice successione n!
Salve, ho veramente timore che i miei studi non stiano fruttando quanto dovrebbero, chiedo gentilmente un vostro parere:
mi trovo a studiare una successione $ a_n = ((2n)!)/(n!)^2 $
Il mio ragionamento (non confermato da nessun riscontro ) mi dice $ (2n)! = 2^n*n! $ ed $(n!)^2 = (n!)*(n!) $
Giusto ???
Quindi la successione mi converge a 0
Ma al contrario sul libro Diverge a + infinito.
Ringrazio per l'aiuto
Ancora un saluto
mi trovo a studiare una successione $ a_n = ((2n)!)/(n!)^2 $
Il mio ragionamento (non confermato da nessun riscontro ) mi dice $ (2n)! = 2^n*n! $ ed $(n!)^2 = (n!)*(n!) $
Giusto ???
Quindi la successione mi converge a 0
Ma al contrario sul libro Diverge a + infinito.
Ringrazio per l'aiuto
Ancora un saluto
Risposte
Non è assolutamente vero che $(2n)! =2^n*n!$.
Prendi ad esempio $n=2$ hai $(2n)! =4! =24$ e invece $2^n*n! = 4*2! =8$
Prendi ad esempio $n=2$ hai $(2n)! =4! =24$ e invece $2^n*n! = 4*2! =8$
"misanino":
Non è assolutamente vero che $(2n)! =2^n*n!$.
Prendi ad esempio $n=2$ hai $(2n)! =4! =24$ e invece $2^n*n! = 4*2! =8$
Infatti mancano un po' di numeri dispari...
L'uguaglianza esatta è [tex]$(2n)!!=2^n\ n!$[/tex] (il simbolo [tex]$!!$[/tex] -fattoriale doppio- denota il prodotto di tutti i numeri pari [tex]$\leq 2n$[/tex]) e si vede ad occhio che [tex]$(2n)! > (2n)!!$[/tex].
Per questa semplice successione potresti usare il criterio del rapporto. e il gioco è fatto!!!!!!!
Con questo n! non riesco a fare nessuna applicazione, nessuna trasformazione.
Help ???!?!??!?!
Help ???!?!??!?!
Prova ad applicare il criterio del rapporto come ti ha suggerito mmmmm e scrivi qui cosa esce.
Poi ti diamo una mano per continuare
Poi ti diamo una mano per continuare
applicando il teorema del confronto:
$a_(n+1)/a_n$
$ ((2n+1)!)/((n+1)!^2) * (n!)^2/(2n!) = ((2n+1)2n!)/((n+1)^2 (n!)^2) * (n!)^2/(2n!) $
Semplificando i fattoriali ->
$ (2n+1)/((n+1)^2) $
ma così
$ lim_{n \to \infty}(2n+1)/((n+1)^2) = 0 $
e non deve venire così !
$a_(n+1)/a_n$
$ ((2n+1)!)/((n+1)!^2) * (n!)^2/(2n!) = ((2n+1)2n!)/((n+1)^2 (n!)^2) * (n!)^2/(2n!) $
Semplificando i fattoriali ->
$ (2n+1)/((n+1)^2) $
ma così
$ lim_{n \to \infty}(2n+1)/((n+1)^2) = 0 $
e non deve venire così !
"valerio100":
applicando il teorema del confronto:
$a_(n+1)/a_n$
$ ((2n+1)!)/((n+1)!^2) * (n!)^2/(2n!) $
Sbagli subito qui.
Infatti $a_n=((2n)!)/(n!)^2$
e quindi $a_(n+1)=((2(n+1))!)/((n+1)!)^2=((2n+2)!)/((n+1)!)^2$
quindi:
$ ((2n+2)!)/((n+1)!)^2 = ((2n+1)(2n+2)2n!) / ((n+1)n!)^2
??
$ ((2n+2)!)/((n+1)!)^2 = ((2n+1)(2n+2)2n!) / ((n+1)n!)^2
??
"valerio100":
quindi:
$ ((2n+2)!)/((n+1)!)^2 = ((2n+1)(2n+2)2n!) / ((n+1)n!)^2
??
Ma no!!
Io ti ho scritto quanto valgono $a_n$ e $a_(n+1)$,
ma poi per il criterio del confronto devi fare $a_(n+1)/a_n$ e non $$a_(n+1)*a_n$!!
Si si almeno quello è chiaro, era per essere sicuro di come avevo distribuito il $ (2n+2)! $
Ok, l'hai distribuito nel modo giusto
Si ho fatto anche delle prove,
Per completezza finisco l'esercizio:
$ lim_{n \to \infty} a_(n+1)/n_n $
$= lim_{n \to \infty} ((2n+1)(2n+2)(2n!))/((n+1)^2 (n!)^2) * ((n!)^2)/(2n!) $
$= lim_{n \to \infty} ((2n+1)(2n+2))/((n+1)^2) $
$= lim_{n \to \infty} (4n^2)/(n^2) = 4 > 1 $
Quindi la serie $ a_n = (2n!)/((n!)^2) $ diverge a $ +oo $
Per completezza finisco l'esercizio:
$ lim_{n \to \infty} a_(n+1)/n_n $
$= lim_{n \to \infty} ((2n+1)(2n+2)(2n!))/((n+1)^2 (n!)^2) * ((n!)^2)/(2n!) $
$= lim_{n \to \infty} ((2n+1)(2n+2))/((n+1)^2) $
$= lim_{n \to \infty} (4n^2)/(n^2) = 4 > 1 $
Quindi la serie $ a_n = (2n!)/((n!)^2) $ diverge a $ +oo $
vorrei chiedere in merito alla soluzione che da il libro perchè non mi è chiarissima :
$ a_n = ((2n(2n-1) ...... (n+2)(n-1))/(n(n+1) ...... 2*1) = 2n/n * (2n-1)/(n-1) ...... (n+2)/2 *(n+1)/1 > n + 1 $
per il teorema del confronto visto che $ lim_{n \to \infty}(n+1) = +oo $ anche la successione $(2n!)/((n!)^2) -> oo $
ciò che non mi è chiaro sono i termini dopo i puntini del numeratore.
$ a_n = ((2n(2n-1) ...... (n+2)(n-1))/(n(n+1) ...... 2*1) = 2n/n * (2n-1)/(n-1) ...... (n+2)/2 *(n+1)/1 > n + 1 $
per il teorema del confronto visto che $ lim_{n \to \infty}(n+1) = +oo $ anche la successione $(2n!)/((n!)^2) -> oo $
ciò che non mi è chiaro sono i termini dopo i puntini del numeratore.
"valerio100":
vorrei chiedere in merito alla soluzione che da il libro perchè non mi è chiarissima :
$ a_n = ((2n(2n-1) ...... (n+2)(n-1))/(n(n+1) ...... 2*1) = 2n/n * (2n-1)/(n-1) ...... (n+2)/2 *(n+1)/1 > n + 1 $
per il teorema del confronto visto che $ lim_{n \to \infty}(n+1) = +oo $ anche la successione $(2n!)/((n!)^2) -> oo $
ciò che non mi è chiaro sono i termini dopo i puntini del numeratore.
C'è un errore nel testo nel primo denominatore che non è $n(n+1) ...... 2*1$, ma $n(n-1) ...... 2*1$
Ora ti scrivo qualche termine in più invece dei puntini:
$a_n = (2n(2n-1) ...... (n+2)(n-1))/(n(n-1) ...... 2*1)=2n/n * (2n-1)/(n-1)*(2n-2)/(n-2)*(2n-3)/(n-3) ...... (n+2)/2 *(n+1)/1$
ok a parte quello che sarà un errore di stampa, il passaggio da $ 2n-3 -> n+2$ perchè nn resta 2n ?
scusami se mi intrometto valerio100, potresti spiegarmi il passaggio:
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}\frac{(n!)^2}{2n!} \Rightarrow \frac{(2n+1)(2n+2)(2n!)}{(n+1)^{2}(n!)^2}\frac{(n!)^2}{2n!}[/tex] ????
[tex]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^2}\frac{(n!)^2}{2n!} \Rightarrow \frac{(2n+1)(2n+2)(2n!)}{(n+1)^{2}(n!)^2}\frac{(n!)^2}{2n!}[/tex] ????
Ho scomposto $(2n+2)! = (2n+1)(2n+2)2n!$ così da poter semplificare il $2n!$
La stessa cosa al denominatore $((n+1)!)^2 = (n+1)^2 n!^2 $
Ho fatto delle prove con i numeri ed il risultato è corretto, utilizzare questa scomposizione si sta rilevando veramente utile
La stessa cosa al denominatore $((n+1)!)^2 = (n+1)^2 n!^2 $
Ho fatto delle prove con i numeri ed il risultato è corretto, utilizzare questa scomposizione si sta rilevando veramente utile
Assolutamente, sì :O
Grazie^^
Grazie^^
"valerio100":
ok a parte quello che sarà un errore di stampa, il passaggio da $ 2n-3 -> n+2$ perchè nn resta 2n ?
Ma infatti resta $2n$ solo che è $2n-(n-2)=2n-n+2=n+2$
E' più chiaro ora o non ancora?
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