Studio di punti critici di funzione in 2 variabili.

[_beppe_11]

Sera a tutti,
sto preparandomi per l'esame di Analisi Matematica II e volevo girarvi questo esercizio, trovato fra quelli che il professore ha messo a disposizione in rete per gli studenti:

"Esercizio 2.47: determinare la natura locale dei punti critici della seguente funzione: $f(x,y) = 2^(x^4+y^3-4x^2-3y^2)$. Suggerimento: la funzione $t|-> 2^t$ è monotona."

Ho risolto l'esercizio cercando le coordinate dei punti stazionari e valutandone la loro natura locale tramite l'esame della matrice hessiana della funzione... anche se i calcoli sono non poco laboriosi . Volevo quindi chiedervi in che cosa consiste il suggerimento "La funzione $t|-> 2^t$ è monotona" e come posso renderlo efficace. Grazie, buona serata,

beppe.

[Fioravante Patrone1]

Poiché $t \to 2^t$ è strettamente crescente, i punti critici di $f$ coincidono con i punti critici dell'esponente, ovvero di $g(x,y) = x^4+y^3-4x^2-3y^2$.

[_beppe_11]

Beh, non fa una piega! Grazie mille, il suggerimento semplifica di molto il problema.

Quindi, ogni volta che si ha a che fare con una funzione composta $f(g(x,y))$, con $f$ monotona, possiamo limitarci allo studio di $g(x,y)$ per valutare la natura dei punti critici? C'è qualche teorema a riguardo? O forse si tratta di un risultato ovvio e scontato che non riesco a capire? Inoltre, qualora $f$ sia monotona decrescente, quali sono le considerazioni da fare? Perdonate la mia limitatezza in materia .

[Fioravante Patrone1]

"_beppe_":
Quindi, ogni volta che si ha a che fare con una funzione composta $f(g(x,y))$, con $f$ monotona, possiamo limitarci allo studio di $g(x,y)$ per valutare la natura dei punti critici? C'è qualche teorema a riguardo? O forse si tratta di un risultato ovvio e scontato che non riesco a capire? Inoltre, qualora $f$ sia monotona decrescente, quali sono le considerazioni da fare? Perdonate la mia limitatezza in materia .

tranqui, non c'è nulla da "perdonare". Nessuno nasce imparato


Comunque il teorema che ti garantisce di poter fare quanto detto c'è ed è oggettivamente molto facile SE uno ha le idee chiare su quello che sta facendo.


Supponiamo che $f:\RR \to \RR$ sia strettamente crescente.
Cioè: $s Possiamo osservare che la stretta crescenza di $f$ garantisce che essa sia iniettiva e quindi invertibile.
Non solo, ma si può dimostrare che l'inversa è essa stessa strettamente crescente.
Questo risultato dovrebbe esserti noto (la dim usa solo le definizioni, niente più).


Detto questo, se $(x_0,y_0)$ è un punto di minimo globale per $g$, vuol dire che:
$g(x_0,y_0) \le g(x,y)$ per ogni $(x,y)$.
La stretta crescenza di $f$ ci permette di concludere che $f(g(x_0,y_0)) \le f(g(x,y))$ per ogni $(x,y)$. Il che vuol dire che $(x_0,y_0)$ è punto di minimo globale per la funzione composta.
Notare che, in realtà, per dimostrare questo, era sufficiente assumere che $f$ fosse debolmente crescente.
Se $f$ è stettamente crescente, come abbiamo visto anche $f^{-1}$ lo è.
Pertanto, da $f(g(x_0,y_0)) \le f(g(x,y))$ posso dedurre che $f^{-1} ( f(g(x_0,y_0)) ) \le f^{-1} ( f(g(x,y)) )$, ovvero che
$g(x_0,y_0) \le g(x,y)$.


Se c'è qualcosa di ancora oscuro, accenderemo un'alta lanterna!

[_beppe_11]

Bene così, una spiegazione più che esauriente! Quei pochi ma pesanti dubbi che avevo si sono dissolti, ora posso di nuovo cimentarmi a studiare. Caso mai dovessi passare l'esame penserò al prezioso aiuto: dal canto mio ce la metterò tutta, anche se voci di corridoio parlano di esercizi insolvibili. Grazie mille ancora... e già che ci sono, auguri!

beppe.