Studio di massimo e minimo
L'esercizio mi chiede di determinare i VALORI DI MASSIMO E MINIMO (se esistono) della seguente funzione nella regione comune al dominio e al poligono di vertici $A=(1;1)$ , $B=(-1;1)$, $C=(-1;-1)$, $D=(1;-1)$.
$f(x,y)= sqrt[logx/sqrt(xy)]+1$
Il poligono è facile...rappresenta un quadrato di lato 2.
Il mio problema è determinare il Dominio di tale funzione:
$logx$ => $x>0$
$logx/(xy)>0$ => $x>1 $ U $xy>0$
Come faccio a valutare la disequazione $xy>0$?
Considerata tale regione comune, valuto la funzione per ogni tratto:
$AB$ $f(x,1)= sqrt(logx/sqrt(x))+1$
$CD$ $f(x,-1)= sqrt(logx/sqrt(-x))+1$
$BC$ $f(-1,y)= sqrt(log(-1)/sqrt(-y))+1$
$AD$ $f(1,y)= sqrt(log(1)/sqrt(y))+1$
Ora qual è il passo avanti?
$f(x,y)= sqrt[logx/sqrt(xy)]+1$
Il poligono è facile...rappresenta un quadrato di lato 2.
Il mio problema è determinare il Dominio di tale funzione:
$logx$ => $x>0$
$logx/(xy)>0$ => $x>1 $ U $xy>0$
Come faccio a valutare la disequazione $xy>0$?
Considerata tale regione comune, valuto la funzione per ogni tratto:
$AB$ $f(x,1)= sqrt(logx/sqrt(x))+1$
$CD$ $f(x,-1)= sqrt(logx/sqrt(-x))+1$
$BC$ $f(-1,y)= sqrt(log(-1)/sqrt(-y))+1$
$AD$ $f(1,y)= sqrt(log(1)/sqrt(y))+1$
Ora qual è il passo avanti?
Risposte
Hai che [tex]$xy>0$[/tex] nel primo e terzo quadrante del piano. Ma in ogni caso hai che [tex]$x \geq 1$[/tex].
Quindi il tuo dominio sarà l'insieme [tex]$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, x \geq1,\, y>0\}$[/tex].
Ora, non è difficile disegnare questo insieme e vedere qual è la sua parte in comune al quadrato.
Quindi il tuo dominio sarà l'insieme [tex]$\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \, | \, x \geq1,\, y>0\}$[/tex].
Ora, non è difficile disegnare questo insieme e vedere qual è la sua parte in comune al quadrato.
ok grz.
E c'è qualcuno disposto ad aiutarmi per il passo successivo?
E c'è qualcuno disposto ad aiutarmi per il passo successivo?
Ma perché hai considerato la funzione lungo quei tratti? Ancora non sapevi quale fosse l'intersezione fra dominio e quadrato 
Dovresti prima controllare quella.
Dovresti prima controllare quella.
Vabbè, non tenendo conto dell'intersezione tra il dominio e il poligono, come continuo l'esercizio? Nessuno può aiutarmi?
Ma come "non tenendo conto"?! Non devi trovare massimo e minimo nella regione comune (intersezione) tra dominio e quadrato?
Inoltre, una volta studiato il dominio, ti rendi conto che alcune delle espressioni che hai scritto su non hanno senso, essendo [tex]$x \geq1, \, y>0$[/tex].
Inoltre, una volta studiato il dominio, ti rendi conto che alcune delle espressioni che hai scritto su non hanno senso, essendo [tex]$x \geq1, \, y>0$[/tex].
Si ok. Allora di quelle espressioni che ho scritto in precedenza devo considerare solo quella relativa al tratto $AD$.
Ora come valuto se ho massimo o minimo?
Ora come valuto se ho massimo o minimo?
anzi non considererò l'intero tratto...ma solo quello $AP$, dove P è il punto di intersezione di $AB$ con l'asse delle $x$. Quindi:
per il tratto $AP$ $f(1;y>0)= sqrt (log1)/sqrt(y) +1= 1
Quali considerazioni devo fare?
per il tratto $AP$ $f(1;y>0)= sqrt (log1)/sqrt(y) +1= 1
Quali considerazioni devo fare?
Io direi che la funzione è costante lungo quel tratto. Quindi non ci sono massimi e minimi propri.
Ok.
ma se avessi dovuto valutare ad es. (è tratto da un altro esercizio):
$f(1;y)=1+1/(sqrt(y))$
Come valutavo se eistevano massimi o minimi?
ma se avessi dovuto valutare ad es. (è tratto da un altro esercizio):
$f(1;y)=1+1/(sqrt(y))$
Come valutavo se eistevano massimi o minimi?
Tu devi ricercare il massimo e il minimo della funzione $g(y)=1+1/(sqrt(y))$? Beh, è una funzione a una variabile
Se faccio la derivata di $g(y)$ avrei:
$g'(y)=-1/(2sqrt(y^3))=0$
=> $-1=0$
$g'(y)=-1/(2sqrt(y^3))=0$
=> $-1=0$
Quindi non esiste punto di minimo e di massimo, vero?
No, non esiste perché la funzione è sempre decrescente nel suo dominio $(0,+infty)$
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