Studio di iniettività e suriettività

[bugger]

Ciao a tutti,
ho problemi nel studiare l'iniettività e la suriettività di questa banale funzione:

$ { ( \frac{n^2}{4}-5n+25 \mbox{ se }n\mbox{ pari} ),( \frac{n+3}{2} \mbox{ se }n\mbox{ dispari} ):} $

Nelle soluzioni del professore lui la fa corta dicendo che non è iniettiva perche $f(8)=1=f(12)$ mentre è suriettiva perchè $\forall y \ge 2 $ è $y=f(2y-3)$ (essendo $2y-3$ dispari). Mentre $f(10)=0$ e $f(8)=1$ cosicchè $f(N)=N$.

Ma io questo ragionamento non lo avrei mai fatto nel compito perchè non mi sarebbe mai venuto in mente, purtroppo, e quindi avrei fatto i classici passaggi che adesso mi stanno bloccando.

-Per $n,m$ entrambi dispari avrei $\frac{n+3}{2}=\frac{m+3}{2} hArr n=m$ e quindi la funzione è iniettiva per $n,m$ entrambi dispari.

-Per $n,m$ entrambi pari avrei $\frac{n^2}{4}-5n+25=\frac{m^2}{4}-5m+25=...=n(n-20)=m(m-20)$ ma poi non so concludere.

Non mi riesce neanche i passaggi per $n$ pari e $m$ dispari, e lo studio della suriettività.
Mi potreste dare una mano?
Grazie mille a tutti.

[Gi81]

$n^2-20n= m^2-20m<=>n^2-m^2= 20n-20m<=> (n-m)(n+m)=20(n-m)<=>$
$<=> (n-m)(n+m-20)=0<=> n-m=0 vv n+m-20=0 <=> n=m vv n+m=20$

Quindi se prendi due numeri $n,m$ naturali pari distinti tali che $n+m=20$ hai che $f(n)=f(m)$.

Alcuni esempi:
$n=8$, $m=12$: $f(8)=16-32+25=1$ e $f(12)= 36-60+25=1$

$n=2$, $m=18$: $f(2)= 1-10+25=16$ e $f(18)= 81-90+25=16$

$n=4$, $m=16$: $f(4)= 4-20+25=9$ e $f(16)= 64-80+25= 9$.