Studio di f(x)=\begin{cases} | x - 1 |e^{\frac{1}{x-1}} &\text{se } x \neq 1 \\0 & \text{se } x = 1 \end{cases}

[ncant04]

Riporto il seguente studio di funzione, nella speranza che mi venga chiarito un dubbio in merito alla derivata seconda di $ f $.

Data la funzione \(f : \mathcal{D} \to \mathbb{R}\) di legge: \[
f(x) := \begin{cases}
(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} & \text{se } x > 1 \\
0 & \text{se } x = 1 \\
-(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} & \text{se } x < 1
\end{cases}
\] il proprio dominio naturale risulta essere \[
\mathcal{D} = \mathbb{R}
\]
in quanto definita in tutto $ \mathbb{R} $. Per quanto ne concerne invece la continuità, è necessario indagare nel punto di raccordo $ x = 1 $. Ma:
\begin{gather*}
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( -(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} \right) = \lim_{x \to 1^-} \left( -(x-1) \right) \cdot \lim_{x \to 1^-} e^{\frac{1}{x-1}} = - \lim_{x \to 1^-} \left( x-1 \right) \cdot 0 = 0 \\
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x-1)e^{\frac{1}{x-1}} = \lim_{x \to 1^+} (x-1) \cdot \lim_{x \to 1^+} e^{\frac{1}{x-1}} = +\infty
\end{gather*}

Dato che $ \lim_{x \to 1^-} f(x) = f(1) = 0 $, si può constatare che $ f (x) $ è continua per $ x \in (-\infty, 1) $, mentre per $ x \to 0^+ $ vi è una discontinuità di seconda specie. Per questo motivo, sarà necessario indagare più nel dettaglio in $ x = 1 $.

Circa lo studio di f ai limiti del dominio, si ha:
\begin{align*}
& \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \left( -(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} \right) = +\infty \qquad \\
& \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(+(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} \right) = +\infty
\end{align*}
da cui si evince la mancanza di asintoti orizzontali, per cui potrebbero esservene di obliqui. Cerchiamoli.
\[
m_1 = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-(x-1)e^{\frac{1}{x-1}}}{x}
\]
risulta in una forma indeterminata $ \infty / \infty $. Possiamo usare la regola di de l'Hôpital, da cui ne risulta:
\[
m_1 = \lim_{x \to -\infty} \frac{f'(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-e^{\frac{1}{x-1}} + \frac{e^{1/(x-1)}}{x-1}}{1} = \frac{-e^0 + 0}{1} = -1
\]
mentre
\[
q_1 = \lim_{x \to -\infty} \left( f(x) - m_1 x \right) = \lim_{x \to -\infty} \left( -(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} + 1 \right) = 0
\]
(sempre usando la regola di de l'Hôpital, dato che il limite risulta in una forma indeterminata).
Per $ x \to +\infty $, invece,
\[
m_2 = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(x-1)e^{ \frac{1}{x-1}}}{x} = 1 \qquad q_2 = \lim_{x \to +\infty} \left( (x-1)e^{ \frac{1}{x-1}} - x \right) = 0
\]
(sempre sfruttando la regola di de l'Hôpital. I conti non sono troppo dissimilari da quelli appena affrontati).
Le equazioni esplicite degli asintoti obliqui sinistro e destro sono rispettivamente:
\[
y_1 (x) = -x \qquad \text{e} \qquad y_2 (x) = x \text{.}
\]

Ciò fatto, passiamo al calcolo della derivata prima di $ f $. In prima battuta, scriviamo: \[
f'(x) =
\begin{cases}
e^{\frac{1}{x-1}} - \frac{e^{1/(x-1)}}{x-1} & \text{se } x > 1 \\
-e^{\frac{1}{x-1}} + \frac{e^{1/(x-1)}}{x-1} & \text{se } x < 1
\end{cases} \text{.}\]
Come già accennato, in \(x=0\) occorre indagare un po':
\[
\lim_{x \to 1^-} f'(x) = 0;
\quad \quad \quad
\lim_{x \to 0^+} f'(x) = -\infty
\]
da cui si evince la non derivabilità di \(f\) in $ x = 1 $. Altrove non è necessario indagare, in quanto la derivabilità è garantita da teoremi analoghi a quelli sulla continuità.
Procedendo con lo studio della positività di $ f'(x) $, si ha:
\[ f'(x) \geq 0 \]
implica:
\[
\begin{cases}
x > 1 \\
e^{\frac{1}{x-1}} - \frac{e^{1/(x-1)}}{x-1} \geq 0
\end{cases}
\qquad \vee \qquad
\begin{cases}
x < 1 \\
-e^{\frac{1}{x-1}} + \frac{e^{1/(x-1)}}{x-1} \geq 0
\end{cases}
\]
da cui:
\[
\begin{cases}
x > 1 \\
x < 1 \vee x \geq 2
\end{cases}
\qquad \vee \qquad
\begin{cases}
x < 1 \\
1 < x \leq 2
\end{cases}
\]
ossia:
\[
x > 2
\]
da cui si deduce che $ x = 2 $ sia un punto di minimo locale e che $ f $ sia crescente per $ x > 2 $. Dunque, $ f(2) = e $ è un minimo locale della funzione.

Infine, non rimane che calcolare anche la derivata seconda di $ f $:
\[
f''(x) =
\begin{cases}
\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^3} & \text{se } x > 1 \\
- \frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{(x-1)^3} & \text{se } x < 1
\end{cases}
\]
e studiarne la positività, ossia:
\[
f''(x) \geq 0
\]

\[
\begin{cases}
x > 1 \\
1 < x < +\infty
\end{cases}
\qquad \vee \qquad
\begin{cases}
x < 1 \\
-\infty < x < 1
\end{cases}
\]
...le cui intersezioni risultano in $ x > 1 \vee x < 1 $?!?
So dalla soluzione che la funzione ha sempre concavità rivolta verso l'alto, ma non mi aspettavo affatto questa situazione. Penso di aver sbagliato...

[pilloeffe]

Ciao ncant,

Scusa, ma devi per forza studiarla la derivata seconda?
Perché qui non ti fornisce molte indicazioni oltre a quello che già sai...
La funzione proposta ha dominio $\RR $ e codominio i reali positivi o nulli (per $x = 1 $); essa è continua a sinistra di $x = 1$, ma non a destra: c'è un asintoto verticale di equazione $x = 1 $
Il minimo l'hai già trovato correttamente, hai già a disposizione tutti gli elementi per disegnare un andamento di massima della funzione in esame...