Studio di $ f(x) = \frac{|x-1|}{x^4}+ \frac{1}{10x^4} $
Ho fatto lo studio di $ f(x) = \frac{|x-1|}{x^4}+ \frac{1}{10x^4} $ fino alla derivata prima e avrei bisogno di un controllo, se siete disposti.
Questa funzione può essere scritta come una funzione definita a tratti:
\[
f (x) = \begin{cases}
\frac{-(x-1)}{x^4} + \frac{1}{10x^4} & \text{se} \; x-1 < 0 \\
\frac{+(x-1)}{x^4} + \frac{1}{10x^4} & \text{se} \; x-1 \ge 0 \\
\end{cases}
\]
ossia, semplificando:
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{11-10x}{10x^4} & \text{se} \; x < 1 \\
\frac{10x-9}{10x^4} & \text{se} \; x \ge 1 \\
\end{cases}
\]
Questa notazione sarà utile nei passaggi successivi.
\section{Dominio}
Come al solito, rapporto di funzioni continue in $ \mathbb{R} $ il cui denominatore però si annulla quando $ x = 0 $.
\[
f(x) = \frac{|x-1|}{x^4} + \frac{1}{10x^4} = \frac{10|x-1|+1}{10x^4}
\]
\[
\mathbb{R} - \{0\}
\]
[size=150]Segno della funzione[/size]
\[ f (x) \geq 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} - 0 \]
[size=150]Limiti e asintoti[/size]
In $ x = 0 $ vi è una discontinuità di prima specie.
\[
\lim_{n \to 0^+} \frac{10|x-1|+1}{10x^4} = +\infty \qquad \lim_{n \to 0^-} \frac{10|x-1|+1}{10x^4} = +\infty
\]
Mentre, circa l'individuazione di eventuali asintoti orizzontali:
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4} + \frac{1}{10x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{10x^4} + \lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4} = 0 + \lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4}
\]
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{d}{dx} |x-1|}{\frac{d}{dx} x^4}
\]
[size=150]Intersezione con gli assi[/size]
Dagli studi precedenti si evince che $ f (x) $ non intersechi mai gli assi cartesiani.
[size=150]Monotonia[/size]
Calcoliamo la derivata prima di $ f(x)$. Nel caso in cui $ x < 1 $ risulta:
\begin{multline*}
\frac{d}{dx} \left(\frac{11-10x}{10x^4} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{11}{10x^4} - \frac{10x}{10x^4}\right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{11}{10x^4} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{10x}{10x^4} \right) = \\
\frac{d}{dx} \left( \frac{11}{10x^4} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) = -11 \frac{\frac{d}{dx} \left( 10 x^4\right)}{\left( 10x^4\right)^2} - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) = -11 \frac{10 \cdot 4x^3}{\left( 10x^4\right)^2} - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) = \\
-11 \frac{10 \cdot 4x^3}{100x^8} - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) = - 11 \frac{4x^3}{10x^8} - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) = - 11\frac{4}{10x^5} - \left( -3x^{-4} \right) = \\ - \frac{22}{5x^5} + \frac{3}{x^4} = \frac{-22 + 15x}{5x^5}
\end{multline*}
Mentre nel caso in cui $ x \geq 1 $, $ f^\prime (x) $ risulta:
\begin{multline*}
\frac{d}{dx} \left( \frac{10x-9}{10x^4} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{10x}{10x^4}-\frac{9}{10x^4}\right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{10x}{10x^4}\right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{9}{10x^4}\right) = \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{9}{10x^4}\right) = - \frac{3}{x^4} - \frac{d}{dx} \left( \frac{9}{10x^4}\right) = - \frac{3}{x^4} + 9 \frac{10x^4}{\left( 10x^4\right)^2} = - \frac{3}{x^4} + 9 \frac{10\cdot4x^3}{\left( 10x^4\right)^2} = \\
- \frac{3}{x^4} + 9 \frac{10\cdot4x^3}{100x^8} = -\frac{3}{x^4} + 9 \frac{4}{10x^5} = -\frac{3}{x^4} + \frac{18}{5x^5} = \frac{-15x+18}{5x^5}
\end{multline*}
Dunque:
\[
f^\prime (x) =
\begin{cases}
\frac{-22+15x}{5x^5} & \text{per } x < 1 \\
\frac{-15x+18}{5x^5} & \text{per } x \geq 1
\end{cases}
\]
...mi fermo qui che è tardi. Nel caso domani scrivo un update.
Questa funzione può essere scritta come una funzione definita a tratti:
\[
f (x) = \begin{cases}
\frac{-(x-1)}{x^4} + \frac{1}{10x^4} & \text{se} \; x-1 < 0 \\
\frac{+(x-1)}{x^4} + \frac{1}{10x^4} & \text{se} \; x-1 \ge 0 \\
\end{cases}
\]
ossia, semplificando:
\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{11-10x}{10x^4} & \text{se} \; x < 1 \\
\frac{10x-9}{10x^4} & \text{se} \; x \ge 1 \\
\end{cases}
\]
Questa notazione sarà utile nei passaggi successivi.
\section{Dominio}
Come al solito, rapporto di funzioni continue in $ \mathbb{R} $ il cui denominatore però si annulla quando $ x = 0 $.
\[
f(x) = \frac{|x-1|}{x^4} + \frac{1}{10x^4} = \frac{10|x-1|+1}{10x^4}
\]
\[
\mathbb{R} - \{0\}
\]
[size=150]Segno della funzione[/size]
\[ f (x) \geq 0 \qquad \forall x \in \mathbb{R} - 0 \]
[size=150]Limiti e asintoti[/size]
In $ x = 0 $ vi è una discontinuità di prima specie.
\[
\lim_{n \to 0^+} \frac{10|x-1|+1}{10x^4} = +\infty \qquad \lim_{n \to 0^-} \frac{10|x-1|+1}{10x^4} = +\infty
\]
Mentre, circa l'individuazione di eventuali asintoti orizzontali:
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4} + \frac{1}{10x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{10x^4} + \lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4} = 0 + \lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4}
\]
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{d}{dx} |x-1|}{\frac{d}{dx} x^4}
\]
[size=150]Intersezione con gli assi[/size]
Dagli studi precedenti si evince che $ f (x) $ non intersechi mai gli assi cartesiani.
[size=150]Monotonia[/size]
Calcoliamo la derivata prima di $ f(x)$. Nel caso in cui $ x < 1 $ risulta:
\begin{multline*}
\frac{d}{dx} \left(\frac{11-10x}{10x^4} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{11}{10x^4} - \frac{10x}{10x^4}\right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{11}{10x^4} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{10x}{10x^4} \right) = \\
\frac{d}{dx} \left( \frac{11}{10x^4} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) = -11 \frac{\frac{d}{dx} \left( 10 x^4\right)}{\left( 10x^4\right)^2} - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) = -11 \frac{10 \cdot 4x^3}{\left( 10x^4\right)^2} - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) = \\
-11 \frac{10 \cdot 4x^3}{100x^8} - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) = - 11 \frac{4x^3}{10x^8} - \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) = - 11\frac{4}{10x^5} - \left( -3x^{-4} \right) = \\ - \frac{22}{5x^5} + \frac{3}{x^4} = \frac{-22 + 15x}{5x^5}
\end{multline*}
Mentre nel caso in cui $ x \geq 1 $, $ f^\prime (x) $ risulta:
\begin{multline*}
\frac{d}{dx} \left( \frac{10x-9}{10x^4} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{10x}{10x^4}-\frac{9}{10x^4}\right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{10x}{10x^4}\right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{9}{10x^4}\right) = \\ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^3} \right) - \frac{d}{dx} \left( \frac{9}{10x^4}\right) = - \frac{3}{x^4} - \frac{d}{dx} \left( \frac{9}{10x^4}\right) = - \frac{3}{x^4} + 9 \frac{10x^4}{\left( 10x^4\right)^2} = - \frac{3}{x^4} + 9 \frac{10\cdot4x^3}{\left( 10x^4\right)^2} = \\
- \frac{3}{x^4} + 9 \frac{10\cdot4x^3}{100x^8} = -\frac{3}{x^4} + 9 \frac{4}{10x^5} = -\frac{3}{x^4} + \frac{18}{5x^5} = \frac{-15x+18}{5x^5}
\end{multline*}
Dunque:
\[
f^\prime (x) =
\begin{cases}
\frac{-22+15x}{5x^5} & \text{per } x < 1 \\
\frac{-15x+18}{5x^5} & \text{per } x \geq 1
\end{cases}
\]
...mi fermo qui che è tardi. Nel caso domani scrivo un update.
Risposte
Ciao ncant,
Solo un paio di osservazioni perché in effetti è un po' tardino...
Innanzitutto $f(x) > 0 $ per ogni $x \in D = \RR - {0} $: la funzione non interseca mai l'asse delle ascisse, non può essere $f(x) = 0 $ perché $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 $, cioè la funzione proposta ha un asintoto orizzontale di equazione $y = 0 $ (asse $x$).
Da quello che hai scritto correttamente $\lim_{x \to 0^{\pm}} f(x) = +\infty $, quindi la funzione proposta ha un asintoto verticale di equazione $x = 0 $ (asse $y$).
Non c'è alcun problema di continuità in $x = 1$ perché si ha $ \lim_{x \to 1^{\pm}} f(x) = 1/10 = f(1) $, ma c'è un problema di derivabilità per via del valore assoluto, per cui scriverei
[tex]f'(x) = \begin{cases} \frac{15x - 22}{5x^5} & \text{per } x < 1 \\ \frac{18-15x}{5x^5} & \text{per } x > 1 \end{cases}[/tex]
Solo un paio di osservazioni perché in effetti è un po' tardino...
Innanzitutto $f(x) > 0 $ per ogni $x \in D = \RR - {0} $: la funzione non interseca mai l'asse delle ascisse, non può essere $f(x) = 0 $ perché $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 0 $, cioè la funzione proposta ha un asintoto orizzontale di equazione $y = 0 $ (asse $x$).
Da quello che hai scritto correttamente $\lim_{x \to 0^{\pm}} f(x) = +\infty $, quindi la funzione proposta ha un asintoto verticale di equazione $x = 0 $ (asse $y$).
Non c'è alcun problema di continuità in $x = 1$ perché si ha $ \lim_{x \to 1^{\pm}} f(x) = 1/10 = f(1) $, ma c'è un problema di derivabilità per via del valore assoluto, per cui scriverei
[tex]f'(x) = \begin{cases} \frac{15x - 22}{5x^5} & \text{per } x < 1 \\ \frac{18-15x}{5x^5} & \text{per } x > 1 \end{cases}[/tex]
"ncant":
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{d}{dx} |x-1|}{\frac{d}{dx} x^4}
\]
Qui credo tu stia applicando De L'Hôpital. Puoi risolvere in almeno tre modi: il primo è notare che non serve, perché per $x \to +\infty$ puoi assumere $x>1$ e quindi $|x-1|=x-1$. Dunque:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\left(1-\frac{1}{x}\right)}{x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\frac{1}{x}}{x^3} = 0$$
Anche se non noti che puoi assumere $x>1$, puoi procedere similmente notando che $x^4=|x^4|=|x|^4$ e quindi:
$$\lim_{x \to +\infty} \frac{|x-1|}{x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\left|x\left(1-\frac{1}{x}\right)\right|}{x^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{|x|\left|1-\frac{1}{x}\right|}{|x|^4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\left|1-\frac{1}{x}\right|}{|x|^3} = 0$$
Infine, sempre notando che puoi assumere $x>1$ e quindi $|x-1|=x-1$, le derivate del numeratore e del denominatore sono rispettivamente $1$ e $4x^3$; quindi, procedendo come hai fatto nella parte che ho quotato in questo messaggio, ottieni comunque che il limite è $0$.
"Mephlip":
Qui credo tu stia applicando De L'Hôpital. Puoi risolvere in almeno tre modi: il primo è notare che non serve, perché per $x \to +\infty$ puoi assumere $x>1$ e quindi $|x-1|=x-1$.
Me ne sono accorto solo al mio risveglio. La funzione l'ho pure definita a tratti per motivi del genere
Poi nel caso di
\[
\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{11-10x}{10x^4} = 0 \qquad \text{e} \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{10x-9}{10x^4} = 0
\]
posso sfruttare la gerarchia degli infiniti
Nel mio primo post ho scritto che c'era una discontinuità di prima specie. Intendevo di seconda (classico asintoto verticale)
Come al solito, grazie a tutti!
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