Studio di fuzione in più variabili parte 2

[Be_CiccioMsn]

Salve dopo aver capito ,almeno lo si spera, lo studio di una funzione quando abbiamo che la nostra funzione ha una certa espressione se $x,y!=0$ e 0 altrimenti ,vorrei capire quest'altro tipo di funzione,so che si fanno allo stesso modo ma non riesco a farla
$f(x,y)={(x+y,if x>0),(x+ye^(-x^2),if x<=0):}$
f è continua in (0,0)? è differenziabile in (0,0)?

Spero in un vostro aiuto, non so proprio come iniziare,grazie. Non sto chiedendo che mi venga fatto l'esercizio ma solo se mi si può impostare per poi farlo e mandarvi la mia soluzione, grazie ancora

[Luca.Lussardi]

La differenza sostanziale rispetto agli esercizi in cui solo l'origine era un punto "strano" è che qui hai tutti i punti dell'asse $y$ che vanno controllati: quindi devi controllare cosa succede, cioé continuità e differenziabilità, nei punti della forma $(0,y)$ con $y$ arbitrario.

[Be_CiccioMsn]

i limiti che andrò a fare vanno fatti per $y->0$?

Dunque per la continuità andrei a fare così
per la prima $lim_(y->0)(f(0,y))$=$lim_(y->0)(y)=0 $ e per la seconda $lim_(y->0)(f(0,y))$=$lim_(y->0)(y)=0$ quindi i due limiti mi escono entrambi uguali a zero e quindi finiti,e quindi è continua.


Per la differenziabilità:
prima calcolo $f_x$ e $f_y$ per la prima funzione e vado a farne il limite, quindi avrò

$f_x$=y e $f_y$=x il mio limite sarà $lim_(h,k->0,0)(f(x+h,y+k)-f(0,y)-f_x(0,y)h-f_y(0,y)k)/sqrt(h^2 + k^2)$ =$lim_(h,k->0,0)((h(1-y)+x+k)/sqrt(h^2+k^2))$ questo limite uscirebbe $infty$ quindi non è differenziabile e di conseguenza è inutile che vado a fare il limite per l'altra funzione,è giusto come ho fatto? oppure poi nell'ultimo limite scritte devo andare a sostituire il punto (0,y)?