Studio di funzioni - problema con esercizio
Salve, ho incontrato difficoltà nel risolvere due esercizi sullo studio di studio di funzioni:
1) stabilire se la funzione è derivabile in $x=1$ e calcolarne la derivata:
$ f(x)={ ( ln x /(x-1) , x != 1 ),( 1 , x=1 ) ) $
studio la derivata nel caso $x!=1$ per vedere se risulta 1, ma non riesco a superare questo passaggio: $(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)$
non posso più semplificarla.
2) trovare il massimo e minimo in $[-pi, pi]$ di $sinx+(cosx)^2$
prima di tutto ho trovato il dominio: $ AA x in RR$ (corretto)
quindi procedo allo studio della derivata prima e dal grafico deduco che $max=pi/2 e min = -pi/2$
non ho risultato però da wolframalpha vedo che in questo intervallo ci sono due massimi.
ho sbagliato qualcosa?
spero in qualche consiglio, grazie.
1) stabilire se la funzione è derivabile in $x=1$ e calcolarne la derivata:
$ f(x)={ ( ln x /(x-1) , x != 1 ),( 1 , x=1 ) ) $
studio la derivata nel caso $x!=1$ per vedere se risulta 1, ma non riesco a superare questo passaggio: $(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)$
non posso più semplificarla.
2) trovare il massimo e minimo in $[-pi, pi]$ di $sinx+(cosx)^2$
prima di tutto ho trovato il dominio: $ AA x in RR$ (corretto)
quindi procedo allo studio della derivata prima e dal grafico deduco che $max=pi/2 e min = -pi/2$
non ho risultato però da wolframalpha vedo che in questo intervallo ci sono due massimi.
ho sbagliato qualcosa?
spero in qualche consiglio, grazie.
Risposte
Non si comprende che cosa dovrebbe risultare $[1]$. In ogni modo, procedo mediante la definizione:
$f'(1)=lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)/h-1)/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)-h)/h^2]=$
$=lim_(h->0)[(h-h^2/2+o(h^2)-h)/h^2]=lim_(h->0)[-1/2+o(1)]=-1/2$
Si potrebbe procedere anche come hai fatto tu, mostrando che la derivata calcolata per $[x!=1]$ ammette limite finito per $[x->1]$, questo limite deve valere $[-1/2]$ ovviamente. In definitiva, la funzione è derivabile e $[f'(1)=-1/2]$. Per quanto riguarda il secondo esercizio, intanto non si comprende per quale motivo tu abbia escluso dei valori dal dominio. Inoltre, poichè la derivata risulta essere $[f'(x)=cosx(1-2senx)]$, esistono degli estremi relativi anche per $[senx=1/2]$.
$f'(1)=lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)/h-1)/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)-h)/h^2]=$
$=lim_(h->0)[(h-h^2/2+o(h^2)-h)/h^2]=lim_(h->0)[-1/2+o(1)]=-1/2$
Si potrebbe procedere anche come hai fatto tu, mostrando che la derivata calcolata per $[x!=1]$ ammette limite finito per $[x->1]$, questo limite deve valere $[-1/2]$ ovviamente. In definitiva, la funzione è derivabile e $[f'(1)=-1/2]$. Per quanto riguarda il secondo esercizio, intanto non si comprende per quale motivo tu abbia escluso dei valori dal dominio. Inoltre, poichè la derivata risulta essere $[f'(x)=cosx(1-2senx)]$, esistono degli estremi relativi anche per $[senx=1/2]$.
"speculor":
Non si comprende che cosa dovrebbe risultare $[1]$. In ogni modo, procedo mediante la definizione:
$f'(1)=lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)/h-1)/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)-h)/h^2]=$
$=lim_(h->0)[(h-h^2/2+o(h^2)-h)/h^2]=lim_(h->0)[-1/2+o(1)]=-1/2$
Si potrebbe procedere anche come hai fatto tu, mostrando che la derivata calcolata per $[x!=1]$ ammette limite finito per $[x->1]$, questo limite deve valere $[-1/2]$ ovviamente. In definitiva, la funzione è derivabile e $[f'(1)=-1/2]$. Per quanto riguarda il secondo esercizio, intanto non si comprende per quale motivo tu abbia escluso dei valori dal dominio. Inoltre, poichè la derivata risulta essere $[f'(x)=cosx(1-2senx)]$, esistono degli estremi relativi anche per $[senx=1/2]$.
Grazie per aver risposto
per stabilire se la funzione è derivabile in $x=1$ non devo vedere se la derivata è uguale al valore della funzione in quel punto? (un pò come la continuità)
cioè in questo caso se $D(lnx/(x-1))=1$ allora $f(x)$ è derivabile in $x=1$, o sbaglio?
per il secondo esercizio ho escluso quei valori dal dominio perchè annullano il seno ed il coseno; ma ricontrollando , la funzione è composta da una somma quindi in effetti il dominio è: $AA x in RR$.
ma questo non cambia il max e min, non so se sono corretti.
Stai facendo confusione:
$[01] rarr [f'(x)=(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)]$
$[x=1] rarr [f'(x)=-1/2]$
Per $[01]$ puoi derivare come al solito. Per $[x=1]$ delle due l'una, calcoli $[lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]]$, il limite del rapporto incrementale mediante la definizione, oppure $[lim_(x->1)[(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)]]$, il limite della derivata mediante un noto teorema. Se:
$[lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]=-1/2] vv [lim_(x->1)[(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)]=-1/2]$
allora la funzione è derivabile per $[x=1]$, ma senza sapere che il limite vale $[-1/2]$ se prima non lo calcoli. Aspettarsi che $[lim_(x->1)[(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)]=1]$ solo perchè $[f(1)=1]$ non ha alcun senso. Infatti, $[f(1)=1]$ è l'ordinata del punto di ascissa $[x=1]$, $[f'(1)=-1/2]$ è il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di ascissa $[x=1]$. Insomma, il limite $[lim_(x->1)[f'(x)]=f(1)]$ "mescola" informazioni completamente differenti.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, devi studiare il segno della derivata $[f'(x)=cosx(1-2senx)]$. Dovresti avere estremi relativi per $[x=pi/2+kpi] vv [x=pi/6+2kpi] vv [x=5/6pi+2kpi]$.
$[0
$[x=1] rarr [f'(x)=-1/2]$
Per $[0
$[lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]=-1/2] vv [lim_(x->1)[(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)]=-1/2]$
allora la funzione è derivabile per $[x=1]$, ma senza sapere che il limite vale $[-1/2]$ se prima non lo calcoli. Aspettarsi che $[lim_(x->1)[(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)]=1]$ solo perchè $[f(1)=1]$ non ha alcun senso. Infatti, $[f(1)=1]$ è l'ordinata del punto di ascissa $[x=1]$, $[f'(1)=-1/2]$ è il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di ascissa $[x=1]$. Insomma, il limite $[lim_(x->1)[f'(x)]=f(1)]$ "mescola" informazioni completamente differenti.
Per quanto riguarda il secondo esercizio, devi studiare il segno della derivata $[f'(x)=cosx(1-2senx)]$. Dovresti avere estremi relativi per $[x=pi/2+kpi] vv [x=pi/6+2kpi] vv [x=5/6pi+2kpi]$.
"speculor":
Stai facendo confusione:...
grazie mille!!
studio i passaggi che hai scritto...
credo di aver capito il procedimento.
grazie
grazie
mi è sorto un dubbio:
calcolo la derivata per $x!=1$ e quella per $x=1$ che fa $-1/2$
ma poi qual'è la condizione che deve essere verificata affinchè la funzione sia derivabile nel punto 1?
effettuando questo passaggio in pratica ricalcolo la derivata che ho già calcolato all'inizio e che già so risultare $-1/2$
grazie
edit: la definizione dice che è derivabile in $x=1$ se $lim_(x->1) (f(x)-f(1))/(x-1)=((lnx/(x-1))-1)/(x-1) $sia $ = -1/2$ ma non riesco a risolvere il lim perchè $lnx/(x-1)$ non è definito in $x=1$. che confusione
calcolo la derivata per $x!=1$ e quella per $x=1$ che fa $-1/2$
ma poi qual'è la condizione che deve essere verificata affinchè la funzione sia derivabile nel punto 1?
effettuando questo passaggio in pratica ricalcolo la derivata che ho già calcolato all'inizio e che già so risultare $-1/2$
"speculor":
Se:
$[lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]=-1/2] vv ...$
allora la funzione è derivabile per $[x=1]$,...
grazie
edit: la definizione dice che è derivabile in $x=1$ se $lim_(x->1) (f(x)-f(1))/(x-1)=((lnx/(x-1))-1)/(x-1) $sia $ = -1/2$ ma non riesco a risolvere il lim perchè $lnx/(x-1)$ non è definito in $x=1$. che confusione
Per dimostrare che la funzione è derivabile per $[x=1]$ puoi semplicemente applicare la definizione, cioè calcolare il seguente limite:
$lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]$
Se il limite esiste ed è finito, in questo caso vale $[-1/2]$, la funzione è derivabile per $[x=1]$ e $[f'(1)=-1/2]$. Punto. Puoi procedere in altro modo utilizzando un noto teorema secondo il quale, dopo aver calcolato la derivata per $[x!=1]$, se esiste ed è finito il seguente limite:
$lim_(x->1)[f'(x)]=lim_(x->1)[(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)]$
in questo caso vale $[-1/2]$, allora esiste anche il limite della definizione precedente, cioè:
$lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]$
e i due limiti sono uguali. Insomma, anche applicando il teorema si ottiene lo stesso scopo che applicando la definizione.
Ho già calcolato il limite di cui parli, anche se con una notazione diversa:
$f'(1)=lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)/h-1)/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)-h)/h^2]=$
$=lim_(h->0)[(h-h^2/2+o(h^2)-h)/h^2]=lim_(h->0)[-1/2+o(1)]=-1/2$
Puoi verificarlo ponendo nel tuo limite $[x=1+h]$. Infine, non si comprende il problema di calcolare un limite se l'oggetto non è definito. Voglio dire, sai calcolare il seguente limite:
$lim_(x->1)[1/(x-1)]$
Vorrei dire di sì, tuttavia anche questo oggetto non è definito per $[x=1]$.
$lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]$
Se il limite esiste ed è finito, in questo caso vale $[-1/2]$, la funzione è derivabile per $[x=1]$ e $[f'(1)=-1/2]$. Punto. Puoi procedere in altro modo utilizzando un noto teorema secondo il quale, dopo aver calcolato la derivata per $[x!=1]$, se esiste ed è finito il seguente limite:
$lim_(x->1)[f'(x)]=lim_(x->1)[(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)]$
in questo caso vale $[-1/2]$, allora esiste anche il limite della definizione precedente, cioè:
$lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]$
e i due limiti sono uguali. Insomma, anche applicando il teorema si ottiene lo stesso scopo che applicando la definizione.
"12Aquila":
La definizione dice che è derivabile in $x=1$ se $lim_(x->1) (f(x)-f(1))/(x-1)=((lnx/(x-1))-1)/(x-1) $sia $ = -1/2$ ma non riesco a risolvere il lim perchè $lnx/(x-1)$ non è definito in $x=1$.
Ho già calcolato il limite di cui parli, anche se con una notazione diversa:
$f'(1)=lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)/h-1)/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)-h)/h^2]=$
$=lim_(h->0)[(h-h^2/2+o(h^2)-h)/h^2]=lim_(h->0)[-1/2+o(1)]=-1/2$
Puoi verificarlo ponendo nel tuo limite $[x=1+h]$. Infine, non si comprende il problema di calcolare un limite se l'oggetto non è definito. Voglio dire, sai calcolare il seguente limite:
$lim_(x->1)[1/(x-1)]$
Vorrei dire di sì, tuttavia anche questo oggetto non è definito per $[x=1]$.
@speculor:
Non dovrei verificare il limite del rapporto incrementale per $x->1^(-)$ ed $x->1^(+)$ e vedere se sono uguali per dire che la mia funzione è derivabile in 1?
Non dovrei verificare il limite del rapporto incrementale per $x->1^(-)$ ed $x->1^(+)$ e vedere se sono uguali per dire che la mia funzione è derivabile in 1?
"Obidream":
Non dovrei verificare il limite del rapporto incrementale per $x->1^(-)$ ed $x->1^(+)$ e vedere se sono uguali per dire che la mia funzione è derivabile in 1?
Certo, se decidi di procedere mediante la definizione. Del resto, quando ho calcolato il seguente limite:
$f'(1)=lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)/h-1)/h]=lim_(h->0)[(ln(1+h)-h)/h^2]=$
$=lim_(h->0)[(h-h^2/2+o(h^2)-h)/h^2]=lim_(h->0)[-1/2+o(1)]=-1/2$
non ho distinto i due casi $[h->0^-]$ e $[h->0^+]$ perchè non era necessario. Ribadisco che si può applicare la definizione calcolando i seguenti due limiti equivalenti:
$[f'(1)=lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]] vv [f'(1)=lim_(x->1)[(f(x)-f(1))/(x-1)]]$
Basta porre $[x=1+h]$ per passare da una notazione all'altra. In ogni modo, ribadisco anche la strada alternativa:
"speculor":
Puoi procedere in altro modo utilizzando un noto teorema secondo il quale, dopo aver calcolato la derivata per $[x!=1]$, se esiste ed è finito il seguente limite:
$lim_(x->1)[f'(x)]=lim_(x->1)[(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)]$
in questo caso vale $[-1/2]$, allora esiste anche il limite della definizione precedente, cioè:
$lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]$
e i due limiti sono uguali. Insomma, anche applicando il teorema si ottiene lo stesso scopo che applicando la definizione.
Giova la pena sottolineare che non ho mai calcolato questo limite:
$lim_(x->1)[f'(x)]=lim_(x->1)[(1-1/x-lnx)/((x-1)^2)]$
nel corso della discussione. Tuttavia, basta applicare de l'Hopital per verificare che vale $[-1/2]$.
"speculor":
Per dimostrare che la funzione è derivabile per $[x=1]$ puoi semplicemente applicare la definizione, cioè calcolare il seguente limite:
$lim_(h->0)[(f(1+h)-f(1))/h]$
Se il limite esiste ed è finito, in questo caso vale $[-1/2]$, la funzione è derivabile per $[x=1]$ e $[f'(1)=-1/2]$. Punto.
Perfetto! Chiarissimo Grazie Mille
"12Aquila":
Perfetto! Chiarissimo Grazie Mille
Spero anche tutto il resto.
"speculor":
[quote="12Aquila"]
Perfetto! Chiarissimo Grazie Mille
Spero anche tutto il resto.[/quote]
si, grazie
vorrei solo scoprire qual'è il "noto teorema"
Non credo abbia un nome. In ogni modo, puoi trovarlo in ogni manuale di Analisi 1.
"speculor":
Non credo abbia un nome. In ogni modo, puoi trovarlo in ogni manuale di Analisi 1.
grazie, gentilissimo
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