Studio di funzioni in più variabili
Buonasera,avrei dei problemi con lo studio in generale di una funzione in più variabili,posto di seguito due esercizi:
1) $f(x)={((x^2y^3)/(x^2+4y^3),if (x,y)!=(0,0)),(0,text{altrimenti}):}$
Continuità: considero la y=mx ,sostituisco in f(x,y) e ottengo il seguente limite: $\lim_{x \to \0}(m^3x^5)/(x^2+4m^3x^3)$=0 ,quindi è continua perchè ho un risultato finito,e perchè non mi ritrovo la dipendenza da m dopo aver applicato Hopital due volte infatti ottengo $\lim_{x \to \infty} (60x^2)/24$. Questo punto lo potrei risolvere anche con le coordinate polari o ci sono casi e casi?
Derivabilità: qua considero due limiti $lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h$=0 e $lim_(k->0)(f(0,0+k)-f(0,0))/k$=0 i due limiti escono uguali e finiti quindi è derivabile.
Differenziabilità: prima di tutto calcolo il gradiente di f $\gradf$=$((2xy^3(x^2+4y^3)-x^2y^3(2x))/((x^2+4y^3)^2);(3y^2x^2(x^2+4y^3)-x^2y^3(12y^2))/((x^2+4y^3)^2))$
dopo di che applico il seguente limite : $lim_((h,k)->(0,0))(f(x+h,y+k)-f(0,0)-(\gradf_(0,0),h))/sqrt(h^2+k^2)$ e quindi sarà differenziabile se il seguente limite?
2)$f(x)={((x+y),if (x>0)),((x+ye^-(x^2)),if x<=0):}$
in questo secondo studio non so proprio come comportarmi poichè mi ritrovo due funzioni.
grazie mille per l'attenzione,ho bisogno del vostro aiuto tra un 5 giorni ho l'esame
1) $f(x)={((x^2y^3)/(x^2+4y^3),if (x,y)!=(0,0)),(0,text{altrimenti}):}$
Continuità: considero la y=mx ,sostituisco in f(x,y) e ottengo il seguente limite: $\lim_{x \to \0}(m^3x^5)/(x^2+4m^3x^3)$=0 ,quindi è continua perchè ho un risultato finito,e perchè non mi ritrovo la dipendenza da m dopo aver applicato Hopital due volte infatti ottengo $\lim_{x \to \infty} (60x^2)/24$. Questo punto lo potrei risolvere anche con le coordinate polari o ci sono casi e casi?
Derivabilità: qua considero due limiti $lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h$=0 e $lim_(k->0)(f(0,0+k)-f(0,0))/k$=0 i due limiti escono uguali e finiti quindi è derivabile.
Differenziabilità: prima di tutto calcolo il gradiente di f $\gradf$=$((2xy^3(x^2+4y^3)-x^2y^3(2x))/((x^2+4y^3)^2);(3y^2x^2(x^2+4y^3)-x^2y^3(12y^2))/((x^2+4y^3)^2))$
dopo di che applico il seguente limite : $lim_((h,k)->(0,0))(f(x+h,y+k)-f(0,0)-(\gradf_(0,0),h))/sqrt(h^2+k^2)$ e quindi sarà differenziabile se il seguente limite?
2)$f(x)={((x+y),if (x>0)),((x+ye^-(x^2)),if x<=0):}$
in questo secondo studio non so proprio come comportarmi poichè mi ritrovo due funzioni.
grazie mille per l'attenzione,ho bisogno del vostro aiuto tra un 5 giorni ho l'esame
Risposte
Riguardo la 2, la prima cosa che farei è assicurarmi che sia continua lungo l'asse y.
per quanto riguarda la prima è tutto giusto quello che ho detto? risultati ecc? per quanto riguarda la differenziabilità invece?
Non ho guardato la prima, la lascio ad altri. Questa sera non sono in vena di conti.
ok grazie lo stesso
"the world":
1) $f(x)={((x^2y^3)/(x^2+4y^3),if (x,y)!=(0,0)),(0,text{altrimenti}):}$
Continuità: considero la y=mx ,sostituisco in f(x,y) e ottengo il seguente limite: $\lim_{x \to \0}(m^3x^5)/(x^2+4m^3x^3)$=0 ,quindi è continua perchè ho un risultato finito,e perchè non mi ritrovo la dipendenza da m dopo aver applicato Hopital due volte infatti ottengo $\lim_{x \to \infty} (60x^2)/24$. Questo punto lo potrei risolvere anche con le coordinate polari o ci sono casi e casi?
Questo non prova nulla, o meglio proverebbe (ammesso che l'argomento con il marchese sia esatto, ma così su due piedi non saprei dire) solamente che la funzione è continua sulla restrizione alle rette del tipo $y=mx$. Non basta affinché la $f$ sia continua; suggerisco invece di pensare a qualche maggiorazione furba, ad esempio vedi se riesci ad usare
\[
xy \le \frac{(x+y)^2}{2}
\]
che è valida per ogni $x,y \in \RR$. Ovviamente l'obiettivo è maggiorare la tua funzione (in valore assoluto) con qualcosa di infinitesimo per $(x,y) \to (0,0)$, così da poter applicare il teorema dei due carabinieri.
e usando le coordinate polari sarebe più completa la cosa? mentre per gli altri punti?
Con le coordinate polari mi pare sia più difficile provare l'indipendenza dal limite dall'angolo (ad occhio sopra viene un $rho^5$ e sotto una somma di un $rho^2$ e di un $rho^3$, quindi ti resta un $rho$ in mezzo alle scatole a denominatore; insomma non mi pare diretta la cosa). E' molto più semplice passare dalla maggiorazione che ti ho suggerito.
non l'ho capita tanto bene
Applicandola a $x^2y^3$ ricavi che
\[
4\vert x^2y^3 \vert \le \frac{(x^2+4y^3)^2}{2}
\]
\[
4\vert x^2y^3 \vert \le \frac{(x^2+4y^3)^2}{2}
\]
perchè esce in questo modo?
Perché non provi a pensarci tu un po' di tempo in più? Non è difficile quello che ho fatto...
Ancora non riesco a capire,dunque,se io uso le coordinate polari ottengo una cosa del genere :
$\lim_{r \to \0}(r^5cos^2\thetasin^3\theta)/(r^2(cos^2\theta+4rsin^3\theta)$ e semplificando ottengo $\lim_{r \to \0}(r^3cos^2\thetasin^3\theta)/(cos^2\theta+4rsin^3\theta)$ quindi facendo tendere a zero r,otterrei al numeratore 0 e al denominatore un $cos^2\theta$ questo limite fa zero,quindi la dipendenza da $\theta$ al den non mi comporta nulla quindi è continua, è giusto il mio ragionamento? Ovviamente se per $(x,y)->(0,0)$ la f(x,y) fosse stato che ne so 2 questa non era continua
$\lim_{r \to \0}(r^5cos^2\thetasin^3\theta)/(r^2(cos^2\theta+4rsin^3\theta)$ e semplificando ottengo $\lim_{r \to \0}(r^3cos^2\thetasin^3\theta)/(cos^2\theta+4rsin^3\theta)$ quindi facendo tendere a zero r,otterrei al numeratore 0 e al denominatore un $cos^2\theta$ questo limite fa zero,quindi la dipendenza da $\theta$ al den non mi comporta nulla quindi è continua, è giusto il mio ragionamento? Ovviamente se per $(x,y)->(0,0)$ la f(x,y) fosse stato che ne so 2 questa non era continua
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