Studio di funzioni in due variabili
Salve Ragazzi, ho dei dubbi riguardo questo studio di funzioni, in particolare riguardo i punti critici :
$x^2ye^(-x-y) $
Annullando le derivati parziali prime, i punti che trovo sono :
$ P(2;1) x=0 y=0 $
Ora, ho calcolato le derivate seconde, calcolato la matrice hessiana in (2;1) ed ho trovato che è punto di massimo.
Come mi devo comportare con gli assi? Ho provato a studiare l'incremento come : $ \Delta f = f(x;y) - f(x;0) >0 $ stesso discorso anche per l'asse y ma in ogni caso non riesco a capire che punti sono e come si comporta l'incremento. L'unica cosa che evinco dall'incremento , dopo questi calcoli :
$ x^2ye^(-x-y) >0 $ è:
$ x^2>0 AA x $
$e^(-x-y)>0 $ $ AA x $
e $y>0$
Dove sbaglio? Manco qualche passaggio? Ho sbagliato a trovare i punti critici come assi x e y? Vi prego aiutatemi!
$x^2ye^(-x-y) $
Annullando le derivati parziali prime, i punti che trovo sono :
$ P(2;1) x=0 y=0 $
Ora, ho calcolato le derivate seconde, calcolato la matrice hessiana in (2;1) ed ho trovato che è punto di massimo.
Come mi devo comportare con gli assi? Ho provato a studiare l'incremento come : $ \Delta f = f(x;y) - f(x;0) >0 $ stesso discorso anche per l'asse y ma in ogni caso non riesco a capire che punti sono e come si comporta l'incremento. L'unica cosa che evinco dall'incremento , dopo questi calcoli :
$ x^2ye^(-x-y) >0 $ è:
$ x^2>0 AA x $
$e^(-x-y)>0 $ $ AA x $
e $y>0$
Dove sbaglio? Manco qualche passaggio? Ho sbagliato a trovare i punti critici come assi x e y? Vi prego aiutatemi!
Risposte
Rifai i conti perchè solo uno dei due assi è stazionario!
Usare l'incremento al posto dell'hessiana è sempre una buona strategia, però devi stare attento. Se riesci a dire che è positivo o negativo sempre allora puoi dire che il punto è estremante, se invece trovi due curve su cui ha segno positivo e negativo (o viceversa) allora puoi concludere che il punto non è estremante.
In questo caso se non sbaglio dovrebbe risultare che i punti del semiasse positivo delle $y$ sono minimi, mentre sono massimi quelli del semiasse negativo.
L'origine non è estremante.
Usare l'incremento al posto dell'hessiana è sempre una buona strategia, però devi stare attento. Se riesci a dire che è positivo o negativo sempre allora puoi dire che il punto è estremante, se invece trovi due curve su cui ha segno positivo e negativo (o viceversa) allora puoi concludere che il punto non è estremante.
In questo caso se non sbaglio dovrebbe risultare che i punti del semiasse positivo delle $y$ sono minimi, mentre sono massimi quelli del semiasse negativo.
L'origine non è estremante.
ma l'hessiano ad ogni modo non avrei potuto farlo in (0;y)! più che altro mi trovo con quello che dici tu, positivo e quindi minimo da 0 in poi e negativo e quindi massimo dietro lo zero..ma non ho capito perchè non devo prendere anche l'asse x!
Perchè non è stazionario.
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