Studio di funzioni in de variabili
Salve a tutti, sto facendo degli esercizi sullo studio di funzione in due variabili e mi sono imbattuta in questo esercizio che mi sta creando alcune difficoltà.
L'esercizio mi chiede
1) di classificare i punti critici della seguente funzione
[tex]\ f(x,y)=(x-2)^{2} (y^{2} -x^{2})[/tex]
2) di stabilire se f è limitata nel suo insieme di definizione.
Allora per quanto riguarda il primo punto ho iniziato imponendo il gradiente uguale a zero
\begin{equation}\label{eq:sist_eu_NO}
\left\{ \begin{matrix}
(x-2)^{2} (2y) = 0 \\
2(x-2)(y^{2} -x^{2}) -(x-2)^{2} (2x) = 0
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
ho risolto il sistema e mi trovo i seguenti punti critici (0;0) (2;0) (1;0).
Ho calcolato le derivate seconde e impostate l'hessiano constatando che
-(0,0) è punto di sella
-(1,0) punto di minimo relativo
-(2,0) punto di massimo relativo
il problema però è che dovrebbe uscirmi come punto infiniti risultati (cioè qualcosa del tipo (x;0) ). io però non riesco mai a capire, non solo in questo esercizio, ma in generale, come trovare questi punti che in realtà hanno come coordinate delle rette, partendo dal sistema.
per quanto riguarda la seconda domanda anche qui sono molto insicura. Avevo pensato di utilizzare dei limiti, vedendo anche su internet che usavano vari percorsi per vedere a cosa tendeva il limite della funione, ma chiedendo un consiglio alla mia professoressa, mi ha solo detto di dover sfruttare il concetto di codominio.
ringrazio in anticipo chi mi risponderà
L'esercizio mi chiede
1) di classificare i punti critici della seguente funzione
[tex]\ f(x,y)=(x-2)^{2} (y^{2} -x^{2})[/tex]
2) di stabilire se f è limitata nel suo insieme di definizione.
Allora per quanto riguarda il primo punto ho iniziato imponendo il gradiente uguale a zero
\begin{equation}\label{eq:sist_eu_NO}
\left\{ \begin{matrix}
(x-2)^{2} (2y) = 0 \\
2(x-2)(y^{2} -x^{2}) -(x-2)^{2} (2x) = 0
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
ho risolto il sistema e mi trovo i seguenti punti critici (0;0) (2;0) (1;0).
Ho calcolato le derivate seconde e impostate l'hessiano constatando che
-(0,0) è punto di sella
-(1,0) punto di minimo relativo
-(2,0) punto di massimo relativo
il problema però è che dovrebbe uscirmi come punto infiniti risultati (cioè qualcosa del tipo (x;0) ). io però non riesco mai a capire, non solo in questo esercizio, ma in generale, come trovare questi punti che in realtà hanno come coordinate delle rette, partendo dal sistema.
per quanto riguarda la seconda domanda anche qui sono molto insicura. Avevo pensato di utilizzare dei limiti, vedendo anche su internet che usavano vari percorsi per vedere a cosa tendeva il limite della funione, ma chiedendo un consiglio alla mia professoressa, mi ha solo detto di dover sfruttare il concetto di codominio.
ringrazio in anticipo chi mi risponderà
Risposte
Innanzitutto sbagli a risolvere l'equazione (1), infatti, ad esempio, se \(x = 2\) il gradiente è nullo per ogni \(y\), e quindi tutti i punti del tipo \((2,y)\) sono stazionari.
OK, allora in generale posso dire di trovarmi dei punti del tipo (2;y) qundo il gradiente si annulla indipendentemente dal valore che io dò alla variabile, in questo caso ,y. Giusto?
In generale devi risolvere correttamente l'equazione "gradiente = 0". Se le soluzioni dell'equazione contengono ancora le coordinate significa che stai identificando dei luoghi di punti anziché dei punti singoli.
OK penso di aver capito.
Invece per quanto riguarda il secondo punto? Come dovrei ragionare?
Invece per quanto riguarda il secondo punto? Come dovrei ragionare?
Prima identifichi il dominio e poi guardi cosa succede alla sua frontiera.
Allora il dominio dovrebbe essere tutto R^2. Poi però non ho capito in modo pratico come devo vedere cosa accade sulla frontiera
Qual è la frontiera di \(\mathbb R^2\)?
Io so che un punto P è di frontiera per un' insieme se in ogni intorno circolare di P cadono punti che appartengono all'insieme sia punti che non appartengono.
Quindi, la frontiera è l'insieme di questi punti. Ora però R^2 è un insieme illimitato e mi verrebbe da pensare che l'insieme della frontiera sia vuoto,ma non sono sicura che il mio ragionamento sia esatto
Quindi, la frontiera è l'insieme di questi punti. Ora però R^2 è un insieme illimitato e mi verrebbe da pensare che l'insieme della frontiera sia vuoto,ma non sono sicura che il mio ragionamento sia esatto
La frontiera di $RR^2$ è $|x|\to \infty$!
Mi potresti spiegare il perchè?
Non ho capito bene il concetto
Non ho capito bene il concetto
Su tutti i compatti la funzione è limitata per il teorema di Weierstrass. Questo significa che la funzione può divergere solo in quelle regioni del dominio che non possono essere messe dentro una palla chiusa [per esempio, centrata nell'origine]. Quindi l'unica regione del piano che ti potrebbe creare problemi è il complementare di una qualunque palla chiusa, cioè quando \(|x| \to \infty\).
So di non essere 100% rigoroso però il concetto è questo
So di non essere 100% rigoroso però il concetto è questo
Grazie mille
Ora dopo che ho determinato la frontiera cosa dovrei fare?
Ora dopo che ho determinato la frontiera cosa dovrei fare?
Devi fare il limite, come ho detto prima!
Grazie mille dell'aiuto
Ciao ragazzi, seguivo la questione e ho provato a continuare l'esercizio per classificare la retta di punti stazionari $(2,y)$
Faccio le derivate seconde, l'hessiano risulta nullo
Sfrutto il metodo del segno, per cui
$f(x,y)-f(2,y)>=0$ $->$ $f(2,y)=0$ $->$ $(x-2)^2 * (y^2-x^2)>=0$
Ora.. $(x-2)^2$ è un quadrato, quindi sempre maggiore di zero
Invece $(y^2-x^2)$ ??
Innanzitutto mi verrebbe da dire che è maggiore di zero quando $x!=y$
E mi verrebbe da dire che la retta $(2,y)$ sia di punti di sella perché immagino che la funzione a destra sia maggiore di zero e a sinistra minore di zero, ma algebricamente parlando non so dimostrarlo.. potete aiutarmi per favore
Grazie infinite
Faccio le derivate seconde, l'hessiano risulta nullo
Sfrutto il metodo del segno, per cui
$f(x,y)-f(2,y)>=0$ $->$ $f(2,y)=0$ $->$ $(x-2)^2 * (y^2-x^2)>=0$
Ora.. $(x-2)^2$ è un quadrato, quindi sempre maggiore di zero
Invece $(y^2-x^2)$ ??
Innanzitutto mi verrebbe da dire che è maggiore di zero quando $x!=y$
E mi verrebbe da dire che la retta $(2,y)$ sia di punti di sella perché immagino che la funzione a destra sia maggiore di zero e a sinistra minore di zero, ma algebricamente parlando non so dimostrarlo.. potete aiutarmi per favore
Grazie infinite
\(y^2-x^2=(y+x)(y-x)\), da qui fai un grafico di segno.
Direi che $(y+x)(y-x)>=0$ $->$ $y>=x$ e $y>=-x$
Per cui singolarmente parlando, per $y>=x$ è positiva la parte a sinistra della bisettrice $y=x$ del primo e terzo quadrante; mentre per $y>=-x$ è positiva la parte a destra della bisettrice $y=-x$ del secondo e quarto quadrante.
Intersecando le due soluzioni ottengo che $(y+x)(y-x)>=0$ nella parte del grafico in cui $y>=0$ tra le due bisettrici.
Detto questo direi che la retta di punti stazionari $(2,y)$ è una retta di punti sella perché in un intorno della retta, la funzione cambia il suo valore. È corretto?
Grazie
Per cui singolarmente parlando, per $y>=x$ è positiva la parte a sinistra della bisettrice $y=x$ del primo e terzo quadrante; mentre per $y>=-x$ è positiva la parte a destra della bisettrice $y=-x$ del secondo e quarto quadrante.
Intersecando le due soluzioni ottengo che $(y+x)(y-x)>=0$ nella parte del grafico in cui $y>=0$ tra le due bisettrici.
Detto questo direi che la retta di punti stazionari $(2,y)$ è una retta di punti sella perché in un intorno della retta, la funzione cambia il suo valore. È corretto?
Grazie
Hai sbagliato a risolvere la disequazione: non devi "intersecare" le due soluzioni [che cosa significa??] ma devi fare il prodotto dei segni! È un grafico di segno, non un grafico di sistema!
Scusa, hai ragione, che fesseria che ho pensato! Comunque detto questo, $x=2$ è una retta di punti di sella perché negli intorni la funzione cambia valore. Grazie 
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