Studio di funzioni.
C'è questa funzione:
$f(0x) ={(frac{3^x - 1}{x}, if x!= 0),(log3, if x = 0):}$
E' una funzione che, in teoria dovrebbe insegnarmi un nuovo "metodo", davvero utilissimo, in quanto spesso escono disequazioni o equazioni che non è possibile risolvere algebricamente.
Dunque, il problema è il seguente. Devo studiare la monotonia e la concavità- convessità della funzione, e quindi ho bisogno della derivata prima e della derivata seconda. In particolare, $AA x in RR\{0}$, $f'(x) = {\phi (x)} / {x^2}$, dove $\phi(x) = x* 3^x* log3 - 3^x +1$, e, nello stesso intervallo, $f''(x)= frac{3^x ( x^2 (log3)^2 - 2xlog3 + 2) - 2}{x^3}$, dove chiamo $\psi$ il numeratore di $f''(x)$.
Non penso sia possibile risolvere le disequazioni:
$\phi/x^2 > 0$ e $\psi / x^3 > 0$
facendo ricorso a metodi algebrici. Ho allora pensato di dover prendere i vecchi libri del liceo e rispolverare i vecchi metodi di risoluzione non algebrica che conoscevo. Poi però, disperato (cominciavo ad avere davvero sonno), ho letto la soluzione del mio libro, per vedere magari se potessi avere qualche suggerimento. E ho visto che in effetti tale suggerimento c'è, anche se non ho capito molto di quanto c'è scritto. Questo suggerimento renderebbe non necessaria la soluzione delle disequazioni elencate in precedenza.
In particolare, il testo dice di studiare i segni di $f'$ e $f''$ tenendo conto delle derivate di $\phi$ e $\psi$.
Si dovrebbe riuscire a dedurre che $min \phi = \phi(0)$ e che $\psi$ è strettamente crescente. In più, essendo $\phi (0) = \psi (0) = 0$, si trae che $\phi (x) >= 0, AA x in RR$, e che $\psi (x) < 0 [>0] text{per} x <0 [>0]$.
Qualcuno mi può aiutare in tal senso? Ve ne sarei grato.
$f(0x) ={(frac{3^x - 1}{x}, if x!= 0),(log3, if x = 0):}$
E' una funzione che, in teoria dovrebbe insegnarmi un nuovo "metodo", davvero utilissimo, in quanto spesso escono disequazioni o equazioni che non è possibile risolvere algebricamente.
Dunque, il problema è il seguente. Devo studiare la monotonia e la concavità- convessità della funzione, e quindi ho bisogno della derivata prima e della derivata seconda. In particolare, $AA x in RR\{0}$, $f'(x) = {\phi (x)} / {x^2}$, dove $\phi(x) = x* 3^x* log3 - 3^x +1$, e, nello stesso intervallo, $f''(x)= frac{3^x ( x^2 (log3)^2 - 2xlog3 + 2) - 2}{x^3}$, dove chiamo $\psi$ il numeratore di $f''(x)$.
Non penso sia possibile risolvere le disequazioni:
$\phi/x^2 > 0$ e $\psi / x^3 > 0$
facendo ricorso a metodi algebrici. Ho allora pensato di dover prendere i vecchi libri del liceo e rispolverare i vecchi metodi di risoluzione non algebrica che conoscevo. Poi però, disperato (cominciavo ad avere davvero sonno), ho letto la soluzione del mio libro, per vedere magari se potessi avere qualche suggerimento. E ho visto che in effetti tale suggerimento c'è, anche se non ho capito molto di quanto c'è scritto. Questo suggerimento renderebbe non necessaria la soluzione delle disequazioni elencate in precedenza.
In particolare, il testo dice di studiare i segni di $f'$ e $f''$ tenendo conto delle derivate di $\phi$ e $\psi$.
Si dovrebbe riuscire a dedurre che $min \phi = \phi(0)$ e che $\psi$ è strettamente crescente. In più, essendo $\phi (0) = \psi (0) = 0$, si trae che $\phi (x) >= 0, AA x in RR$, e che $\psi (x) < 0 [>0] text{per} x <0 [>0]$.
Qualcuno mi può aiutare in tal senso? Ve ne sarei grato.
Risposte
se provi a studiare il segno della derivata prima di $phi(x)$, se non ho sbagliato i conti viene $phi'(x)>=0 " per " x>=1/(log3)-1$, dunque $phi(x)$ ha un minimo per tale valore di x, e sostituendo alla x viene $phi(1/(log3)-1)=1-1/3*log3*3^(1/(log3)) ~= 0.005 >0$. dunque $f'(x)>0 AA x !=0$
$psi$ potrebbe anche essere scritta così: $psi(x)=3^x*(xlog3-1)^2+(3^x-2)$. non ho portato avanti i conti. puoi anche tornare indietro e scriverla nella forma precedente, provando però a studiare il segno di $psi'(x)$.
noto adesso la parte finale del post precedente...
prova e facci sapere. ciao.
EDIT: ho commesso un errore nel calcolo di $phi'(x)$. il minimo è in 0. vedere un paio di post successivi.
$psi$ potrebbe anche essere scritta così: $psi(x)=3^x*(xlog3-1)^2+(3^x-2)$. non ho portato avanti i conti. puoi anche tornare indietro e scriverla nella forma precedente, provando però a studiare il segno di $psi'(x)$.
noto adesso la parte finale del post precedente...
prova e facci sapere. ciao.
EDIT: ho commesso un errore nel calcolo di $phi'(x)$. il minimo è in 0. vedere un paio di post successivi.
se provi a studiare il segno della derivata prima di $\phi(x)$
Tu come hai fatto, usando quale metodo?
nulla di eccezionale, ho svolto la derivata e ho messo in evidenza $3^x*log3$ che è sempre positivo.
nulla di eccezionale, ho svolto la derivata e ho messo in evidenza che è sempre positivo.
Certo, se questi trucchi me li insegnasse qualcuno...
Quindi, dato che la derivata è:
$f'(x) = frac {x* 3^x* log3 - 3^x + 1}{x^2}$,
io posso agire trasformandola così:
$f' (x) = 3^x*log3 (x - frac{3^x -1}{3^x log3}) / (x^2)$.
Quindi, io "trascurerei" i termini sempre positivi $3^x log3$ , $x^2$, considerando la sola disequazione:
$x - frac{3^x -1}{3^x log3} >= 0$.
Ora, la funzione espressa nel rapporto non è una funzione elementare, sicchè dovrei prima studiarne il grafico e poi confrontarla con la funzione identica $x$ per risolvere graficamente (una disequazione che diventa:
$x >= frac{3^x -1}{3^x log3}$.
Questa è l'unica cosa che mi viene in mente, fino ad ora.
[/quote]
per $psi'(x)$ la cosa viene ancora più semplice.
infatti, $phi'(x)=3^1*log3*(xlog3+log3-1)$,
$psi'(x)=3^x*x^2*log^3 3$, dunque $psi(x)$ è sempre crescente, e poiché $psi(0)=0$ vuol dire che è negativa per x<0 e positiva per x>0, come il denominatore, per cui $f''(x)>0 AA x !=0$
infatti, $phi'(x)=3^1*log3*(xlog3+log3-1)$,
$psi'(x)=3^x*x^2*log^3 3$, dunque $psi(x)$ è sempre crescente, e poiché $psi(0)=0$ vuol dire che è negativa per x<0 e positiva per x>0, come il denominatore, per cui $f''(x)>0 AA x !=0$
Quindi, per quanto riguarda la derivata prima, per vedere quando essa è positiva o negativa (il che determina che la funzione di cui consideriamo la derivata sia o meno crescente), va bene come ho ragionato io?
Alla fine, si tratterebbe, per la risoluzione dell'equazione, di osservare i grafici delle funzioni $f(x) = x+1$ e $g(x) = 3^x$. Risoluzione resa semplice dal fatto che entrambe le funzioni si intersecano nel punto $x = 0$. Solo che, se anche così fosse, non saprei come stabilire con sicurezza tutti i punti di intersezione dei grafici delle funzioni $f(x)$ e $g(x)$.
Alla fine, il testo, mi ha consigliato "soltanto" di trasformare la somma in un prodotto così da "ignorare" quei termini che sono sempre positivi? Non ha quindi consigliato di considerare altri teoremi "alternativi" per stabilire che la funzione fosse o meno decrescente? Mi ha solo detto di proseguire sull'unica strada (probabilmente esistente a questi livelli) che già conosciamo (quella di studiare appunto il "segno della derivata" per vedere se la funzione è crescente o decrescente in determinati intervalli) e di usare alla fine un "trucco"?
Perchè io credevo vivamente che in quelle parole, chissà perchè per me incomprensibili, ci fosse altro, ci fosse qualche teorema magari dimenticato.
Alla fine, si tratterebbe, per la risoluzione dell'equazione, di osservare i grafici delle funzioni $f(x) = x+1$ e $g(x) = 3^x$. Risoluzione resa semplice dal fatto che entrambe le funzioni si intersecano nel punto $x = 0$. Solo che, se anche così fosse, non saprei come stabilire con sicurezza tutti i punti di intersezione dei grafici delle funzioni $f(x)$ e $g(x)$.
Alla fine, il testo, mi ha consigliato "soltanto" di trasformare la somma in un prodotto così da "ignorare" quei termini che sono sempre positivi? Non ha quindi consigliato di considerare altri teoremi "alternativi" per stabilire che la funzione fosse o meno decrescente? Mi ha solo detto di proseguire sull'unica strada (probabilmente esistente a questi livelli) che già conosciamo (quella di studiare appunto il "segno della derivata" per vedere se la funzione è crescente o decrescente in determinati intervalli) e di usare alla fine un "trucco"?
Perchè io credevo vivamente che in quelle parole, chissà perchè per me incomprensibili, ci fosse altro, ci fosse qualche teorema magari dimenticato.
riprendiamo da $f'(x)$: il denominatore è $x^2$, per cui non mi dà problemi.
ho bisogno di studiare il segno del numeratore, ma poiché non ci riesco in maniera diretta, voglio vedere se per caso è sempre positivo o sempre negativo. allora come fare? lo studio come funzione ($phi(x)$). quindi faccio la derivazione solo del numeratore, perché ho bisogno solo dello studio del segno del numeratore. dunque $phi'(x)=3^x*log3+x*3^x*log^2 3-3^x*log3=x*3^x*log^2 3$ (quindi è più semplice di come avevo scritto in precedenza: avevo considerato un $log^2 3$ al posto di $log3$). $phi'(x)>=0 " per " x>=0$ e $phi(0)=0$, dunque $(0,0)$ è un minimo per $phi(x)$ che risulta pertanto positiva per ogni $x!=0$.
ho bisogno di studiare il segno del numeratore, ma poiché non ci riesco in maniera diretta, voglio vedere se per caso è sempre positivo o sempre negativo. allora come fare? lo studio come funzione ($phi(x)$). quindi faccio la derivazione solo del numeratore, perché ho bisogno solo dello studio del segno del numeratore. dunque $phi'(x)=3^x*log3+x*3^x*log^2 3-3^x*log3=x*3^x*log^2 3$ (quindi è più semplice di come avevo scritto in precedenza: avevo considerato un $log^2 3$ al posto di $log3$). $phi'(x)>=0 " per " x>=0$ e $phi(0)=0$, dunque $(0,0)$ è un minimo per $phi(x)$ che risulta pertanto positiva per ogni $x!=0$.
Ci siamo accavallati, scusami.
Comunque, nel post da me scritto appena sopra, sono chiariti i miei dubbi.
In ogni caso, riparto da quello che hai scritto tu.
Il teorema dice che, data una funzione $f(x)$ in un opportuno intervallo, si può dire che essa sia crescente in quell'intervallo, e strettamente, se $f'(x) >=0$ o $f'(x) <=0$.
Quindi, derivo $f(x)$ ed esprimo la derivata come $frac {\phi (x)}{x^2}$.
La funzione $\phi (x)$ è parte della funzione derivata di $f(x)$, ed è l'unica che ci interessa per i motivi che abbiamo visto.
Quello che chiedo è:
derivarla ulteriormente non è un passo che compete lo studio della monotonia locale della funzione, vero?
Serve solo dopo, per studiare la convessità o la concavità, giusto?
Comunque, nel post da me scritto appena sopra, sono chiariti i miei dubbi.
In ogni caso, riparto da quello che hai scritto tu.
Il teorema dice che, data una funzione $f(x)$ in un opportuno intervallo, si può dire che essa sia crescente in quell'intervallo, e strettamente, se $f'(x) >=0$ o $f'(x) <=0$.
Quindi, derivo $f(x)$ ed esprimo la derivata come $frac {\phi (x)}{x^2}$.
La funzione $\phi (x)$ è parte della funzione derivata di $f(x)$, ed è l'unica che ci interessa per i motivi che abbiamo visto.
Quello che chiedo è:
derivarla ulteriormente non è un passo che compete lo studio della monotonia locale della funzione, vero?
Serve solo dopo, per studiare la convessità o la concavità, giusto?
una precisazione: per la stretta monotonia la disuguaglianza in senso lato non è sufficiente. solo se $f'>0$ possiamo dire che $f$ è strettamente crescente, ecc.
la derivata seconda della $phi$ non la calcolo perché sto usando $phi$ solo per il segno di $f'$, e dunque mi interessa il segno di $phi$, che so calcolare mediante $phi'$, dunque $phi'$ mi basta, non mi serve $phi''$.
per la concavità calcolo $f''$, e per lo studio del segno uso $psi$, non $phi$, e per lo studio del segno di $psi$ mi basta $psi'$. nel caso di $f''$, a differenza di $f'$, anche il denominatore influisce sul segno, ma è risultato che i segni di numeratore e denominatore sono sempre concordi.
spero che ora sia chiaro. ciao.
la derivata seconda della $phi$ non la calcolo perché sto usando $phi$ solo per il segno di $f'$, e dunque mi interessa il segno di $phi$, che so calcolare mediante $phi'$, dunque $phi'$ mi basta, non mi serve $phi''$.
per la concavità calcolo $f''$, e per lo studio del segno uso $psi$, non $phi$, e per lo studio del segno di $psi$ mi basta $psi'$. nel caso di $f''$, a differenza di $f'$, anche il denominatore influisce sul segno, ma è risultato che i segni di numeratore e denominatore sono sempre concordi.
spero che ora sia chiaro. ciao.
Il meccanismo che mi sfugge è questo, sarà anche una cosa ridicola, oppure sarà una mia mancanza grave, però è una cosa che non avevo mai incontrato prima.
Cioè, mi interessa il segno di $\phi$, perchè esso è uguale al segno di $f'(x)$. Se io voglio studiare il segno di $\phi$ la pongo maggiore di zero, e risolvo la disequazione. Nel caso in questione, mi aveva dato problemi, poichè era una disequazione risolubile sono con il metodo grafico.
Tu scrivi:
In che modo può essere calcolato il segno di una funzione tramite la sua derivata? Non può essere calcolato solo tramite la disequazione?
Cioè, mi interessa il segno di $\phi$, perchè esso è uguale al segno di $f'(x)$. Se io voglio studiare il segno di $\phi$ la pongo maggiore di zero, e risolvo la disequazione. Nel caso in questione, mi aveva dato problemi, poichè era una disequazione risolubile sono con il metodo grafico.
Tu scrivi:
e dunque mi interessa il segno di $\phi$ che so calcolare mediante $\phi'$
In che modo può essere calcolato il segno di una funzione tramite la sua derivata? Non può essere calcolato solo tramite la disequazione?
no, è un modo per "aggirare l'ostacolo": non so risolvere la disequazione, allora studio la funzione. la derivata prima mi dice quando è crescente o decrescente, dove ha massimi o minimi... non sempre mi risolve il problema, ma spesso sì.
nel nostro caso, è capitato che la derivata prima era negativa per x<0, nulla per x=0 e positiva per x>0. questo ci dice che la funzione (quella di cui abbiamo calcolato la derivata) ha un minimo per x=0. sostituendo troviamo il valore di questo minimo, che è 0. se è un minimo assoluto, vuol dire che la funzione è maggiore o uguale a zero per ogni valore della x. stop. siamo stati fortunati e abbiamo potuto concludere questo. non possiamo aggiungere altro.
altre volte si ricorre ad altri metodi, come la risoluzione grafica o metodi iterativi, ma sempre dividendo il dominio in intervalli di "stretta monotonia" della funzione: su ciascun tratto si possono riportare varie considerazioni... qui però non è servito.
nel nostro caso, è capitato che la derivata prima era negativa per x<0, nulla per x=0 e positiva per x>0. questo ci dice che la funzione (quella di cui abbiamo calcolato la derivata) ha un minimo per x=0. sostituendo troviamo il valore di questo minimo, che è 0. se è un minimo assoluto, vuol dire che la funzione è maggiore o uguale a zero per ogni valore della x. stop. siamo stati fortunati e abbiamo potuto concludere questo. non possiamo aggiungere altro.
altre volte si ricorre ad altri metodi, come la risoluzione grafica o metodi iterativi, ma sempre dividendo il dominio in intervalli di "stretta monotonia" della funzione: su ciascun tratto si possono riportare varie considerazioni... qui però non è servito.
Ada, chiarissima, come sempre.
Davvero, ti ringrazio. Anche per la tua disponibilità.
Mi eserciterò domattina, ho due funzioni belle fresche da mangiare a colazione. Magari ti farò sapere com'è andata.
Davvero, ti ringrazio. Anche per la tua disponibilità.
Mi eserciterò domattina, ho due funzioni belle fresche da mangiare a colazione. Magari ti farò sapere com'è andata.
prego. buona notte.
C'è la funzione
$f(x) = {(frac{2^(x + 1) - 1}{x+1},if x <-1),(log2,if x=-1, x= 1), (xarctghx + log(root(2)(1-x^2)), if x in ]-1;1[), (frac{2^(x-1) - 1}{x -1}, if x > 1):}$
(Non capisco perchè me l'ha scritta così, penso di aver seguito alla lettera il codice.
Comunque, questa funzione l'ho riportata perchè, calcolando la derivata prima nel primo tratto, viene una situazione analoga a quella analizzata per la precedente funzione. Ovviamente, data l'enorme stanchezza, la probabilità di aver commesso errori nel calcolo è molto alta.
La derivata che esce a me, relativamente al primo tratto, è la seguente:
$f'(x) = frac {2^(x+1) ( xlog2 + log2 -1 + 2^(-x-1))}{x^2}$.
Provo, allora, a ragionare come suggerito da Ada, ed esce fuori che il minimo della funzione $\phi(x) = xlog2 + log2- 1 + 2^(-x-1)$ è $x = -1$. Qui la possibilità che vi siano errori di calcolo è la stessa di prima.
Non è allora possibile, per me, continuare l'analisi sulla funzione, a meno di risolvere l'equazione con metodi grafici, cosa che francamente mi risulta difficile fare.
Siccome, leggendo la soluzione, ho osservato che il ragionamento, per intenderci, esposto da Ada va usato solo relativamente alla derivata seconda, ecco che chiedo il vostro aiuto.
$f(x) = {(frac{2^(x + 1) - 1}{x+1},if x <-1),(log2,if x=-1, x= 1), (xarctghx + log(root(2)(1-x^2)), if x in ]-1;1[), (frac{2^(x-1) - 1}{x -1}, if x > 1):}$
(Non capisco perchè me l'ha scritta così, penso di aver seguito alla lettera il codice.
Comunque, questa funzione l'ho riportata perchè, calcolando la derivata prima nel primo tratto, viene una situazione analoga a quella analizzata per la precedente funzione. Ovviamente, data l'enorme stanchezza, la probabilità di aver commesso errori nel calcolo è molto alta.
La derivata che esce a me, relativamente al primo tratto, è la seguente:
$f'(x) = frac {2^(x+1) ( xlog2 + log2 -1 + 2^(-x-1))}{x^2}$.
Provo, allora, a ragionare come suggerito da Ada, ed esce fuori che il minimo della funzione $\phi(x) = xlog2 + log2- 1 + 2^(-x-1)$ è $x = -1$. Qui la possibilità che vi siano errori di calcolo è la stessa di prima.
Non è allora possibile, per me, continuare l'analisi sulla funzione, a meno di risolvere l'equazione con metodi grafici, cosa che francamente mi risulta difficile fare.
Siccome, leggendo la soluzione, ho osservato che il ragionamento, per intenderci, esposto da Ada va usato solo relativamente alla derivata seconda, ecco che chiedo il vostro aiuto.
a parte al denominatore di $f'$ in cui va $(x+1)^2$ e non $x^2$, i conti mi sembrano esatti. da $phi'$ si ha che $phi$ ha minimo per $x=-1$, ma il valore del minimo lo devi sostituire proprio a $phi$, e si ha $phi(-1)=0$, dunque $phi >= 0$ sempre ... a te interessa che $f'(x)>0 AA x<-1$ e dunque $f$ crescente (da $0$ a $log2$ se non sbaglio ... è tardi anche per me!)
che cosa intendi per ragionamento da usare solo relativamente alla derivata seconda non capisco ...
che cosa intendi per ragionamento da usare solo relativamente alla derivata seconda non capisco ...
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