STUDIO DI FUNZIONI
Ciao ragazzi.. ho un problema grosso con lo studio di funzioni.. o meglio vorrei sapere lo svolgimento corretto perchè io personalmente le svolgo ma non ho nessuno che mi dice se sono corrette..
Le funzioni sono queste:
1) y = [log (3 x + 7 )] / (3 x + 7)
2) y = 6 ^[(16 + x^2) / (x - 1)]
me le potreste svolgere almeno vedo se faccio errori e dove li faccio?
Grazie ragazzi.. attendo con cortesia un vostro aiuto..
Le funzioni sono queste:
1) y = [log (3 x + 7 )] / (3 x + 7)
2) y = 6 ^[(16 + x^2) / (x - 1)]
me le potreste svolgere almeno vedo se faccio errori e dove li faccio?
Grazie ragazzi.. attendo con cortesia un vostro aiuto..
Risposte
ti consiglio di utilizzare per l'intanto un software che ti disegni i grafici...
ciao alex
ciao alex
caro Edgar....la prima funzione se ti ricordi, ne abbiamo abbozzato uno studio qualche tempo fa.
Per la seconda magari sarebbe utile che provassi a postare la tua così possiamo vedere se e dove sbagli
Per la seconda magari sarebbe utile che provassi a postare la tua così possiamo vedere se e dove sbagli
$y=log(3x+7)/(3x+7)$
Per questo esercizio trovo i seguenti valori:
Campo di Esistenza (C.E.) = $-7/3 < x <= oo$
La funzione diventa indefinita per $x=-7/3$ (infinita negativa).
Per $x rarr oo$ il limite $lim_(x rarr oo) = log(3x+7)/(3x+7) = 0$ perché
$lim_(x rarr oo) = log(3x+7)/(3x+7) = log(3x+7)^(1/x)/(3x/x+7/x)$
e facendo tendere x all'infinito si ha:
la forma $0/oo = 0$
La derivata prima della funzione è:
$3(1-log(3x+7))/(3x+7)$ che si annulla in $1 = log(3x+7)$, ovvero in $e^1=3x+7$ da cui
$x=(e-7)/3$. Poiché a destra e a sinistra di tale valore, come puoi facilmente verificare, il valore della coordinata risulta minore, ne deriva che il punto $P(x= (e-7)/3,\ \ y=(log(3(e-7/3)+7))/(3((e-7)/3)+7)=loge/e)$ è MASSIMO.
Non so' come si possa pubblicare il grafico, sto studiando già questo strano linguaggio per scrivere le formule e mi risulta difficile procedere con speditezza. Appena saprò inserirli, lo farò. Tuttavia posso dirti che si tratta di una sorta di ginocchio.
Per questo esercizio trovo i seguenti valori:
Campo di Esistenza (C.E.) = $-7/3 < x <= oo$
La funzione diventa indefinita per $x=-7/3$ (infinita negativa).
Per $x rarr oo$ il limite $lim_(x rarr oo) = log(3x+7)/(3x+7) = 0$ perché
$lim_(x rarr oo) = log(3x+7)/(3x+7) = log(3x+7)^(1/x)/(3x/x+7/x)$
e facendo tendere x all'infinito si ha:
la forma $0/oo = 0$
La derivata prima della funzione è:
$3(1-log(3x+7))/(3x+7)$ che si annulla in $1 = log(3x+7)$, ovvero in $e^1=3x+7$ da cui
$x=(e-7)/3$. Poiché a destra e a sinistra di tale valore, come puoi facilmente verificare, il valore della coordinata risulta minore, ne deriva che il punto $P(x= (e-7)/3,\ \ y=(log(3(e-7/3)+7))/(3((e-7)/3)+7)=loge/e)$ è MASSIMO.
Non so' come si possa pubblicare il grafico, sto studiando già questo strano linguaggio per scrivere le formule e mi risulta difficile procedere con speditezza. Appena saprò inserirli, lo farò. Tuttavia posso dirti che si tratta di una sorta di ginocchio.
Oops! La forma che si ottiene facendo tendere all'infinito la x è $0/3$ !!!
$y = 6 ^[(16 + x^2) / (x - 1)]$
La funzione ha valori piccolissimi per $-oo< x < 1$
mentre nel valore $x=1$ diventa infinita (infinita positiva). All'aumentare di x la funzione aumenta di piccoli valori dato che la radice aumenta il proprio grado e la potenza aumenta il proprio valore. Si tratta, pertanto di una funzione assai strana composta, io credo, da due rami, uno sull'asse orizzontale, l'altro a questo ortogonale nel punto x = 1. Per x = 2 la funzione assume il valore $y = 6^20$.
Passando ai logaritmi si ha: $log y = (16+x^2)/(x-1) * log 6$
e derivando questa funzione si ha:
$1/y = (2x(x-1) - (16 +x^2))/(x-1)$ risolvendo e imponendo $(x-1)^2 - 17=0$ si ricava:
$x=1+sqrt(17)$ che dovrebbe essere il Massimo, dopo di che la funzione comincia a decrescere e per x che tende all'infinito il valore tende a 1, dunque il valore si stabilizza a 6.
Spero di aver risposto in modo corretto.
La funzione ha valori piccolissimi per $-oo< x < 1$
mentre nel valore $x=1$ diventa infinita (infinita positiva). All'aumentare di x la funzione aumenta di piccoli valori dato che la radice aumenta il proprio grado e la potenza aumenta il proprio valore. Si tratta, pertanto di una funzione assai strana composta, io credo, da due rami, uno sull'asse orizzontale, l'altro a questo ortogonale nel punto x = 1. Per x = 2 la funzione assume il valore $y = 6^20$.
Passando ai logaritmi si ha: $log y = (16+x^2)/(x-1) * log 6$
e derivando questa funzione si ha:
$1/y = (2x(x-1) - (16 +x^2))/(x-1)$ risolvendo e imponendo $(x-1)^2 - 17=0$ si ricava:
$x=1+sqrt(17)$ che dovrebbe essere il Massimo, dopo di che la funzione comincia a decrescere e per x che tende all'infinito il valore tende a 1, dunque il valore si stabilizza a 6.
Spero di aver risposto in modo corretto.
Il problema nella 2a è che non so come considerare il numero.. lo considero come se fosse "e"?
oppure la devo invertire a logaritmo? chi è che mi risponde con certezza?
"IvanTerr":
$y=log(3x+7)/(3x+7)$
Per questo esercizio trovo i seguenti valori:
Campo di Esistenza (C.E.) = $-7/3 < x <= oo$
La funzione diventa indefinita per $x=-7/3$ (infinita negativa).
Per $x rarr oo$ il limite $lim_(x rarr oo) = log(3x+7)/(3x+7) = 0$ perché
$lim_(x rarr oo) = log(3x+7)/(3x+7) = log(3x+7)^(1/x)/(3x/x+7/x)$
e facendo tendere x all'infinito si ha:
la forma $0/oo = 0$
La derivata prima della funzione è:
$3(1-log(3x+7))/(3x+7)$ che si annulla in $1 = log(3x+7)$, ovvero in $e^1=3x+7$ da cui
$x=(e-7)/3$. Poiché a destra e a sinistra di tale valore, come puoi facilmente verificare, il valore della coordinata risulta minore, ne deriva che il punto $P(x= (e-7)/3,\ \ y=(log(3(e-7/3)+7))/(3((e-7)/3)+7)=loge/e)$ è MASSIMO.
Non so' come si possa pubblicare il grafico, sto studiando già questo strano linguaggio per scrivere le formule e mi risulta difficile procedere con speditezza. Appena saprò inserirli, lo farò. Tuttavia posso dirti che si tratta di una sorta di ginocchio.
Lo studio mi sembra incompleto e anche un po' sbagliato, comunque:
il campo di esistenza va bene, x = infinito non ha molto senso metterlo perchè l'asse delle x è un asintoto.
Ora bisogna trovare l'intersezione con gli assi, che sono, sull'asse delle x per $x=-2$, infatti il logaritmo si annulla quando il suo argomento è 1.
Con l'asse delle y si interseca per $y=\frac{ln(7)}{7}$ che è circa $0,22$. Dunque i punti di intersezione con gli assi sono (-2,0) e (0,$\frac{ln(7)}{7}$).
Studiando il segno della funzione si vede facilmente che è negativa fra $\frac{-7}{3}$ e $-2$ e positiva per $x>$$-2$.
Limiti:
$\lim_{x \to -\frac{-7^(+)}{3}} log(3x+7)/(3x+7) = \lim_{x \to -\frac{-7^(+)}{3}} log(3x+7) 1/(3x+7) = -infty$ perchè il logaritmo tende a meno infinito e
$1/(3x+7)$ tende a più infinito.
$\lim_{x \to +infty} log(3x+7)/(3x+7) = 0 $ semplicemente perchè $3x + 7$ "schiaccia" il logaritmo per x che tende a infinito.
studio della derivata prima:
$f'(x)=3(1-log(3x+7))/(3x+7)$, che come hai detto bene si annulla in $x=(e-7)/3$. Nell'intorno di questo punto la derivata cambia di segno, la funzione è positiva, è un punto di massimo.
Il punto di massimo relativo è P=($(e-7)/3$, $1/e$)
Per la funzione $f(x) = 6^((16 + x^2)/(x - 1))$ abbiamo:
Campo di esistenza $RR$ $-{1}$. E' sempre positiva.
Intersezioni con gli assi:
(0,$6^(-16)$), l'asse delle x non lo interseca, la funzione tende a zero per x che tende a $ 1^(-)$.
$lim_(x->1^(+)) 6^((16 + x^2)/(x - 1)) =$ $+infty$ perchè l'esponente tende a + infinito.
$lim_(x->1^(-)) 6^((16 + x^2)/(x - 1)) = 0 $ perchè questa volta l'esponente tende a meno infinito.
Dunque abbiamo un asintoto verticale, $x=1$, solo per x che tende a 1 da destra.
Studiamo il segno della derivata prima:
$f'(x) = (2x(x-1)-(16+x^2))/(x-1)^2 > 0$
è positiva quando il numeratore è positivo, dato che a denominatore abbiamo un quadrato che è sempre positivo.
$x^2-2x-16>0$ quando $x<1-sqrt(17)$ e $x>1+sqrt(17)$ perchè la parabola ha la concavità verso l'alto. Abbiamo 1 punto di massimo
relativo, che è ($1-sqrt(17)$, $6^((34-sqrt(17))/-sqrt(17)$) e un punto di minimo relativo ($1+sqrt(17)$, $6^((34+sqrt(17))/sqrt(17)$)
Ciao!
Campo di esistenza $RR$ $-{1}$. E' sempre positiva.
Intersezioni con gli assi:
(0,$6^(-16)$), l'asse delle x non lo interseca, la funzione tende a zero per x che tende a $ 1^(-)$.
$lim_(x->1^(+)) 6^((16 + x^2)/(x - 1)) =$ $+infty$ perchè l'esponente tende a + infinito.
$lim_(x->1^(-)) 6^((16 + x^2)/(x - 1)) = 0 $ perchè questa volta l'esponente tende a meno infinito.
Dunque abbiamo un asintoto verticale, $x=1$, solo per x che tende a 1 da destra.
Studiamo il segno della derivata prima:
$f'(x) = (2x(x-1)-(16+x^2))/(x-1)^2 > 0$
è positiva quando il numeratore è positivo, dato che a denominatore abbiamo un quadrato che è sempre positivo.
$x^2-2x-16>0$ quando $x<1-sqrt(17)$ e $x>1+sqrt(17)$ perchè la parabola ha la concavità verso l'alto. Abbiamo 1 punto di massimo
relativo, che è ($1-sqrt(17)$, $6^((34-sqrt(17))/-sqrt(17)$) e un punto di minimo relativo ($1+sqrt(17)$, $6^((34+sqrt(17))/sqrt(17)$)
Ciao!
Grazie marco.. sei un grande..
Prego.
Scusa Marco.. ancora una domanda.. ma nello studio del segno della derivata prima come hai fatto a trovare i due punti di max e min relativi? a me se risolvo l'equazione x2-2x-16>0 mi torna in modo diverso... x<1-17 e x>1+17 ...
Mi spieghi i passaggi per favore? grazie e auguri di buona pasqua!
Mi spieghi i passaggi per favore? grazie e auguri di buona pasqua!
"edgar1982":
Scusa Marco.. ancora una domanda.. ma nello studio del segno della derivata prima come hai fatto a trovare i due punti di max e min relativi? a me se risolvo l'equazione x2-2x-16>0 mi torna in modo diverso... x<1-17 e x>1+17 ...
Mi spieghi i passaggi per favore? grazie e auguri di buona pasqua!
Non hai fatto bene i conti, il denominatore è un qudrato dunque sempre positivo, la discussione del segno è ristretta al numeratore. Al numeratore c'è un polinomio di 2 grado che uguagliato a zero diventa un'equazione. La formula di risoluzione per questa equazione di secondo grado è la formula ridotta
$x = (-b/2 \pm \sqrt((b/2)^2 - ac))/a$, dove $a = 1$, $b= -2$ e $c= -16$
l'avrai già vista un milione di volte...
in effetti anche troppo.. 
ciao..
ciao..
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