Studio di funzione(rapidamente)

[frab1]

Ciao ragazzi sto studiando la seguente funzione e devo valutare quale proprieta' vale su tutto $R$
$f(x)=5x|x|+arctan(5x)$. Verificare se e': continua/derivabile/lim.inferiormente/dispari/limit.super/pari/monotona/periodica
Io ho osservato che f e' continua,poiché somma di funz continue,e' derivabile(ma non so come dimostrarlo brevemente),credevo fosse limitata inf e sup (perché pensavo al grafico Dell arcotangente) ma non e' COSI!so che e' dispari,quindi non pari...

I dubbi li ho sulla derivabilita,la limitatezza,la monotonia e la periodicita'..come posso fare a verificarle brevemente!?il mio prof alle esercitazioni le guardava in faccia e Risp!o comunque un calcolino e via!e' COSI immediata la faccenda?grazie ho bisogno davvero di un aiuto!!

[eugenio.amitrano]

La funzione arctan è limitata.....

Per valutare se anche $5x|x|$ è limitata prova ad eliminare il valore assoluto:
$5x|x|= 5x^2 forall x>0"
$5x|x|= -5x^2 forall x<0"

Per la derivabilità in tutto R, calcola la derivata e vedi se è continua in tutto R (dominio di $f'$ = R)

Per valutare la monotonia, puoi osservare il segno della derivata (vedere dove è $f'=0$ (punto di min o max), $f'>0$ (crescente) e $f'<0$ (descrescente))

Per la periodicità basata solo valutare che $f(x+t) = f(x)$ dove t è il periodo

[dissonance]

"eugenio.amitrano":Per la derivabilità in tutto R, calcola la derivata e vedi se è continua in tutto R (dominio di $f'$ = R)

Per una spiegazione più precisa di questo metodo, guarda qui:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#469504