Studio di funzione: $y=(x^2+1)/(1-x^2)$

[indovina]

Oggi ho fatto lo studio di questa funzione, vorrei che ci date un controllo
$y=(x^2+1)/(1-x^2)$

Dominio
$1-x^2!=0$

$x^2-1!=0$

tutto $RR$ eccetto $(-1,1)$

segno di $f$
$(x^2+1)/(1-x^2)>0$ (maggiore uguale)
$(x^2+1)>0$ risolto per ogni $x$ appartenente a $RR$
$-1 positiva in questo intervallo

ricerca di eventuali asintoti obliqui
per $x->+oo$ $(x^2+1)/(x-x^3)=2x/(1-3x^2)=2/(-6x)=0$ (ho applicato de hopital)
non ci sono asintoti obliqui

limiti
per $x->-1$: $(x^2+1)/(1-x^2)=+oo$

per $x->1$ $(x^2+1)/(1-x^2)=+oo$

per $x->+oo$ $(x^2+1)/(1-x^2)=-1^+$

per $x->-oo$ $(x^2+1)/(1-x^2)=-1^-$

derivata prima
$y'=(2x*(1-x^2)-(x^2+1)(-2x))/(1-x^2)^2$

$y'=(2x-2x^3+2x^3+2x)/(1-x^2)^2=(4x)/(1+x^2)^2$

punti critici
$(4x)/(1+x^2)^2=0$

crescenza-decrescenza
$(4x)/(1+x^2)^2>0$
$(4x)>0$ $x>0$
$(1+x^2)^2$ per ogni $x$ appartente a $RR$

$(0,+oo)$ cresce
$(-oo,0)$ decresce

derivata seconda
$y''=(4*(1-x^2)^2-8x(1+x^2)*(2x))/(1-x^2)^4$

$y''=(4*(1+x^4-2x^2)-16x(1+x^2))/(1-x^2)^4$

$y''=(4+4x^4-8x^2-16x-16x^3)/(1-x^2)^4$

Punti di flesso
$4+4x^4-8x^2-16x-16x^3=0$

$x^4-4x^3-2x^2-4x+1=0$

[Darèios89]

Devo controllare meglio dopo, una cosa:

Per i limiti se non erro quando calcoli se ci sono asintoti verticali, credo devi specificare che il limite per x che tende a -1 è dalla sinistra, mentre quello per x che tende a 1 è dalla destra.

[indovina]

i limiti li ho fatti ai punti 'particolari' del dominio: ovvero a $-1$ e $1$, e poi ad $RR=(-oo;+oo)$
Mi trovo che $y=-1$ è un asintoto orizzontale.

[Darèios89]

Correggimi se sbaglio, il dominio si rappresenta come:

[tex]]-\infty, -1-1, 11, +\infty[[/tex]

?

In questo caso io ho sempre calcolato i limiti tenendo conto di quella cosa, quindi in questo caso non dovresti calcolarli per -1 sinistro e destro e poi per 1 sinistro e destro?

[blackbishop13]

guitarplaying ha ragione, è diverso in generale in un caso come questo il limite per $x to -1^+$ e per $x to -1^-$.

comunque sarebbe furbo osservare che la funzione è pari, siccome $x$ è sempre elevato al quadrato, poi devi fare la metà dei conti.

visto quello che ho detto, il fatto poi che il limite per $x to +infty$ sia diverso da quello per $x to -infty$ è di certo un errore.
inoltre nei calcoli della derivata seconda ti sei perso una $x$ dal primo al secondo passaggio complicando di molto le cose.

[robbstark1]

In questo caso io ho sempre calcolato i limiti tenendo conto di quella cosa, quindi in questo caso non dovresti calcolarli per -1 sinistro e destro e poi per 1 sinistro e destro?

Esattamente.

@ clever: Dai limiti (che come puoi avere capito, non sono tutti corretti) dovresti ricavare anche gli asintoti verticali e orizzontali.
Mi sembra che tra derivata prima e seconda cambi diverse volte un segno, meglio ricontrollare.
I punti critici vanno calcolati esplicitamente, e si deve capire se si tratta di massimi, minimi o flessi orizzontali; in questo caso $(0,0)$ è un minimo.

P.s.: Per il calcolo di limiti di funzioni razionali per $x->+-infty$ si può usare la regola dei gradi di numeratore e denominatore: se il primo è maggiore il limite è infinito (da stabilire il segno), viceversa è 0, se invece sono uguali come in questo caso, è il rapporto tra i coefficienti dei termini di grado massimo (qui infatti è $1/(-1) =-1$)

[indovina]

1)Ho provato a fare il grafico con un programma per verificare.
Il punto $(0;0)$ non c'è. Dunque non so come tu abbia fatto a prenderlo.

2)Per la derivata prima credo che vada bene, ho ricontrollato i conti.

3) Per la derivata seconda ho rifatto i calcoli e viene

$y''=(4-12x^4-24x^2)/(1-x^2)^4$

ricerca dei punti di flesso
$4-12x^4-24x^2=0$

$3x^4+6x^2-1=0$

$x^2=t$

$3t^2+6t-1=0$

$x<-sqrt((sqrt(3)-3)/3)$ e $x>sqrt((sqrt(3)-3)/3)$


4)Quando ho calcolato il limite per la ricerca dell'eventuale asintoto obliquo, potevo già evitarlo? se sì, come?

5)Per la faccenda dei limiti
$x->+oo$ $f(x)=-1$

$x->-oo$ $f(x)=-1$

erroneamente ho messo $-1^-$ e $-1^+$ perchè volevo far intendere qualcosa sul grafico, ma matematicamente mi sono espresso male, facendo credere che fossero diversi.
Intanto quel $y=-1$ è un asintoto orizzontale che si trova nel terzo e quarto quadrante.

Vorrei capire bene la distinzione tra $x->-1^+$ e $x->1^-$:
$x->1^-$ vedere cosa succede graficamente ad $x=1$ alla sinistra
$x->-1^+$ vedere cosa succede graficamente ad $x=1$ alla destra

se non è così, potete darmi qualche suggerimento?

6) essendo una funzione pari, quindi, fatto il lavoro per primo e quarto quadrante, potrei ribaltare lo stesso disegno nel secondo e terzo, giusto?

7) se mi sono perso qualche punto, ditemelo.

grazie

[robbstark1]

1) Correggo: $(0,1)$. $x=0$ è dove si annulla la derivata che hai scritto, sostituendo nell funzione si ricava $y=1$. Che sia un minimo lo si capisce perchè la derivata è negativa a sinistra di $x=0$ e positiva a destra.

2) Derivata prima ok: $y'=(4x)/((1-x^2)^2)$

3)Derivata seconda (mi pare diversa):
$y''=(4(1-x^2)^2 -4x*2*(1-x^2)*(-2x))/((1-x^2)^4) =(4-8x^2 +4x^4 +16x^2 -16x^4)/((1-x^2)^4) =(4-12x^4 +8x^2)/((1-x^2)^4)$
Se però anzichè svolgere i calcoli così, raccogli $1-x^2$ a numeratore ne semplifichi uno col denominatore, ottenendo a numeratore un'equazione di secondo grado, anche se, in questo caso non è grande vantaggio, visto che per lo studio del segno entrerebbe in gioco anche il denominatore.

4)$lim_{x to +-infty} f(x) =1$ significa che $y=-1$ è asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra. Se c'è l'asintoto orizzontale da entrambi i lati non ha senso cercare l'asintoto obliquo (se l'asintoto orizzontale è solo da un lato si può cercare quello obliquo dall'altro lato).
Eventualmente la ricerca dell'asintoto obliquo si esegue secondo la ricetta:
$m=lim_{x to +-infty} (f(x))/x $
$q=lim_{x to +-infty} (f(x) -mx) $

5)$x->1^+$ significa che consideri intorni del tipo $]1;1+epsilon[$, invece $x->1^-$ vuol dire che consideri intorni del tipo $]1-epsilon;1[$, comunque la teoria sui limiti non è un giochetto, se si vuole capire per bene bisogna studiare le definizioni dai libri.
In questo caso:
$lim_{x to -1^-} f(x)= -infty$
$lim_{x to -1^+} f(x)= +infty$
$lim_{x to 1^-} f(x)= +infty$
$lim_{x to 1^+} f(x)= -infty$
Il segno dell'infinito lo stabilisci dal grafico dei segni della funzione ad esempio.

6)ok