Studio di funzione: $y=log(x)/(x+1)$
$y=log(x)/(x+1)$
dominio:
$log(x)$ è definita su $(0;+oo)$
per il denominatore:
$x+1!=0$ $x!=-1$
il dominio è l'unione di $(0;+oo)$ e $x!=-1$
segno di $f$
$log(x)/(x+1)>0$
$log(x)>0$ $x>1$
$(x+1)>0$ $x> -1$
è positiva in $(-oo;-1) \cupU (1;+oo)$
ovviamente elimino a priori la soluzione $(-oo;-1)$ che non è nel dominio
limiti:
$x->0$ $f(x)=-oo$
$x->+oo$ $f(x)=0$
è inutile che io faccia il limite per $x-> -1$ perchè la funzione è definita positiva in $(0;+oo)$
derivata prima:
$y'=((1/x)*(x+1)-log(x))/(x+1)^2$
$y'=(1+(1/x)-log(x))/(x^2+1)^2$
punti critici:
$(1+(1/x)-log(x))/(x^2+1)^2=0$
$1+(1/x)-log(x)=0$
$(1/x)-log(x)=-1$
non so risolverla
derivata seconda (ancora più complicata) la scrivo comunque:
$y''=(((-1/x^2)-(1/x))(x+1)^2-2(x+1)(1+(1/x)-log(x)))/(x+1)^3$
io mi fermerei qui.
le mie ultime osservazioni sono:
dal punto di vista grafico c'è che la curva verso $+oo$ tende a essere lineare con l'asse x
e poi la curva per $x->0$ va a $x=0$ cioè si avvicina sempre più all'asse $y$. e passa per $x=1$
non è una funzione pari.
dominio:
$log(x)$ è definita su $(0;+oo)$
per il denominatore:
$x+1!=0$ $x!=-1$
il dominio è l'unione di $(0;+oo)$ e $x!=-1$
segno di $f$
$log(x)/(x+1)>0$
$log(x)>0$ $x>1$
$(x+1)>0$ $x> -1$
è positiva in $(-oo;-1) \cupU (1;+oo)$
ovviamente elimino a priori la soluzione $(-oo;-1)$ che non è nel dominio
limiti:
$x->0$ $f(x)=-oo$
$x->+oo$ $f(x)=0$
è inutile che io faccia il limite per $x-> -1$ perchè la funzione è definita positiva in $(0;+oo)$
derivata prima:
$y'=((1/x)*(x+1)-log(x))/(x+1)^2$
$y'=(1+(1/x)-log(x))/(x^2+1)^2$
punti critici:
$(1+(1/x)-log(x))/(x^2+1)^2=0$
$1+(1/x)-log(x)=0$
$(1/x)-log(x)=-1$
non so risolverla
derivata seconda (ancora più complicata) la scrivo comunque:
$y''=(((-1/x^2)-(1/x))(x+1)^2-2(x+1)(1+(1/x)-log(x)))/(x+1)^3$
io mi fermerei qui.
le mie ultime osservazioni sono:
dal punto di vista grafico c'è che la curva verso $+oo$ tende a essere lineare con l'asse x
e poi la curva per $x->0$ va a $x=0$ cioè si avvicina sempre più all'asse $y$. e passa per $x=1$
non è una funzione pari.
Risposte
mi sembra grossomodo corretto, ma ti faccio un'osservazione: non sentirti obbligato a mostrare tutto ciò che sai, è controproducente.
evita di scrivere così tanti commenti superflui e aggiunte inutili, secondo me rischi solo di sbagliare, e inoltre dai l'idea di essere molto ma molto poco sicuro di quello che fai, e va a tuo svantaggio. ti faccio degli esempi.
non è tanto bello da scrivere, meglio evitare e scrivere subito il dominio, che è evidente dai passaggi, corretti, che hai fatto.
ma non è vero!! per scrivere una cosa superflua hai fatto un brutto errore, perchè in $(-infty,-1)$ la funzione non può essere positiva, non esiste proprio!!
non è una finezza, questo è proprio sbagliato.
anche qui inutile, rischi solo di essere frainteso con quel "positiva"
questi si possono proprio evitare, è ovvio che se hai trovato i limiti che hai trovato la funzione avrà un asintoto orizzontale $y=0$ e uno verticale $x=0$. Ma o lo dici così, brevemente e parlando di asintoti, o non dire niente, è molto poco elegante come la metti tu. Il fatto che passi per $x=1$, ? cosa vuol dire? Ovvio che passa da $x=1$, guarda il dominio! Magari volevi dire che passa dal punto $(1,0)$ giusto? Sì ma così hai detto una sciocchezza, e potevi evitarlo, tanto non è che devi star lì a dire quanto vale su ogni punto! Poi ovvio che non è pari, è definita solo su $(0,+infty)$...
evita di scrivere così tanti commenti superflui e aggiunte inutili, secondo me rischi solo di sbagliare, e inoltre dai l'idea di essere molto ma molto poco sicuro di quello che fai, e va a tuo svantaggio. ti faccio degli esempi.
"clever":
il dominio è l'unione di $(0;+oo)$ e $x!=-1$
non è tanto bello da scrivere, meglio evitare e scrivere subito il dominio, che è evidente dai passaggi, corretti, che hai fatto.
"clever":
$log(x)>0$ $x>1$
$(x+1)>0$ $x>-1$
è positiva in $(-oo;-1)$ $U$ $(1;+oo)$
ovviamente elimino a priori la soluzione $(-oo;-1)$ che non è nel dominio
ma non è vero!! per scrivere una cosa superflua hai fatto un brutto errore, perchè in $(-infty,-1)$ la funzione non può essere positiva, non esiste proprio!!
non è una finezza, questo è proprio sbagliato.
"clever":
è inutile che io faccia il limite per $x->-1$ perchè la funzione è definita positiva in $(0;+oo)$
anche qui inutile, rischi solo di essere frainteso con quel "positiva"
"clever":
io mi fermerei qui.
le mie ultime osservazioni sono:
dal punto di vista grafico c'è che la curva verso $+oo$ tende a essere lineare con l'asse x
e poi la curva per $x->0$ va a $x=0$ cioè si avvicina sempre più all'asse $y$. e passa per $x=1$
non è una funzione pari.
questi si possono proprio evitare, è ovvio che se hai trovato i limiti che hai trovato la funzione avrà un asintoto orizzontale $y=0$ e uno verticale $x=0$. Ma o lo dici così, brevemente e parlando di asintoti, o non dire niente, è molto poco elegante come la metti tu. Il fatto che passi per $x=1$, ? cosa vuol dire? Ovvio che passa da $x=1$, guarda il dominio! Magari volevi dire che passa dal punto $(1,0)$ giusto? Sì ma così hai detto una sciocchezza, e potevi evitarlo, tanto non è che devi star lì a dire quanto vale su ogni punto! Poi ovvio che non è pari, è definita solo su $(0,+infty)$...
Ecco, il mio grande sbaglio.
Filosofeggio troppo su i conti che faccio, dovrei far parlare i numeri e non io a riassumerli (grande baggianata).
Sono sicuro di quel che faccio, però mi sento ancora più sicuro se li posto qui, cosi ecco dalle tue parole capisco cosa sbaglio, cosa non dovrei fare.
Quindi se grossomodo è fatto bene (tolte le mie 'precisazioni' stupide), sarebbe un buon compito? Sufficiente?
Grazie.
Filosofeggio troppo su i conti che faccio, dovrei far parlare i numeri e non io a riassumerli (grande baggianata).
Sono sicuro di quel che faccio, però mi sento ancora più sicuro se li posto qui, cosi ecco dalle tue parole capisco cosa sbaglio, cosa non dovrei fare.
Quindi se grossomodo è fatto bene (tolte le mie 'precisazioni' stupide), sarebbe un buon compito? Sufficiente?
Grazie.
"clever":
se grossomodo è fatto bene (tolte le mie 'precisazioni' stupide), sarebbe un buon compito?
ogni cosa, se togli gli errori, allora è fatta bene!! 
scherzo, capisco la tua domanda: ma mi pare di sì però: tra i tuoi errori non ce ne sono solo di eccesivo zelo, alcuni lasciano presupporre incertezze sulle basi: cerca di assicurarti di possedere bene i concetti fondamentali, dai un'occhiata ai miei commenti.
poi sulla derivata prima, non è un'equazione standard, però almeno un tentativo, qualcosa, devi farlo.
Per quanto riguarda alcunic alcoli, quando hai calcolato l'asintoto verticale "forse" potrebbe andare bene:
[tex]\lim_{x\to 0}[/tex] perchè nel dominio abbiamo specificato che è definita da [tex]]0, +\infty[[/tex]
Ma forse bisognerebbe mettere:
[tex]\lim_{x\to 0^+}[/tex]
Non so se ad un esame possa venire corretto così.
Per quanto riguarda la tua equazione, io non sono bravo con i logaritmi, però qualcosa l'ho scritta.
[tex]\frac{1}{x}-logx=-1[/tex]
[tex]\frac{1}{x}-logx+1=0[/tex]
[tex]log\frac{1}{x}-logx=0[/tex]
[tex]log\frac{\frac{1}{x}}{x}=0[/tex]
[tex]log\frac{1}{x^2}=0[/tex]
Quindi [tex]x=-1 , x=1[/tex]
Solo che una delle due, tu sai quale non è una soluzione valida per il nostro dominio, quindi ci sarà un punto estremante.
[tex]\lim_{x\to 0}[/tex] perchè nel dominio abbiamo specificato che è definita da [tex]]0, +\infty[[/tex]
Ma forse bisognerebbe mettere:
[tex]\lim_{x\to 0^+}[/tex]
Non so se ad un esame possa venire corretto così.
Per quanto riguarda la tua equazione, io non sono bravo con i logaritmi, però qualcosa l'ho scritta.
[tex]\frac{1}{x}-logx=-1[/tex]
[tex]\frac{1}{x}-logx+1=0[/tex]
[tex]log\frac{1}{x}-logx=0[/tex]
[tex]log\frac{\frac{1}{x}}{x}=0[/tex]
[tex]log\frac{1}{x^2}=0[/tex]
Quindi [tex]x=-1 , x=1[/tex]
Solo che una delle due, tu sai quale non è una soluzione valida per il nostro dominio, quindi ci sarà un punto estremante.
ecco, ci sono problemi nella ricerca dei punti critici.
io scrivo i passaggi che ho fatto, ma niente di buono.
forse si deve fare qualche sostituzione..
$(1/x)-log(x)+1=0$
$(1/x)-log(x)+log(e)=0$
$(1/x)+log(e/x)=0$
c'è un metodo per risolvere questa equazione?
io scrivo i passaggi che ho fatto, ma niente di buono.
forse si deve fare qualche sostituzione..
$(1/x)-log(x)+1=0$
$(1/x)-log(x)+log(e)=0$
$(1/x)+log(e/x)=0$
c'è un metodo per risolvere questa equazione?
Posso dirti che la soluzione dell' equazione per stabilire gli eventuali punti di stallo non è sicuramente banale...
Però si può notare che tra 0 e 1 la derivata è positiva,
Siccome f '(1)=1/2 >0, e ad esempio f '(e^2)<0 allora esiste almeno un punto di stallo ... che sarà appunto tra 1 ed e^2
Anzi andando più a fondo nei calcoli si vede che sarà tra 3 e 4
Però si può notare che tra 0 e 1 la derivata è positiva,
Siccome f '(1)=1/2 >0, e ad esempio f '(e^2)<0 allora esiste almeno un punto di stallo ... che sarà appunto tra 1 ed e^2
Anzi andando più a fondo nei calcoli si vede che sarà tra 3 e 4
Scusa la mia ignoranza, per cosa intendi punti di stallo? Punti critici giusto?
Dal grafico fatto con un programma noto che il punto $(2;1/10)$ è (leggermente) di massimo assoluto
poi la curva tende a linearizzarsi a $y=0$
Dal grafico fatto con un programma noto che il punto $(2;1/10)$ è (leggermente) di massimo assoluto
poi la curva tende a linearizzarsi a $y=0$
si intendo punto critico
sono d'accordo con gi8, il punto a derivata nulla è tra $3$ e $4$.
anzi con un po' più di precisione è compreso tra $3,591$ e $3,592$.
anzi con un po' più di precisione è compreso tra $3,591$ e $3,592$.
come sei arrivato blackbishop alla 'precisione' del risultato?qualche metodo particolare?
no niente di particolare, non so nulla in queto ambito, l'unico metodo decente che conosco è il metodo di Newton,
ma in questo caso visto che la funzione è semplice e l'approssimazione solo a 3 decimali, mi sono bastati 3 minuti, una calcolatrice e un poco di furbizia e colpo d'occhio..
ma in questo caso visto che la funzione è semplice e l'approssimazione solo a 3 decimali, mi sono bastati 3 minuti, una calcolatrice e un poco di furbizia e colpo d'occhio..
capito il trucco xD
grazie! alla prossima
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