Studio di funzione verifica

[Beerk]

Ciao ragazzi, ho fatto il mio primo studio di funzione "universitario".
La prof ci ha detto che preferisce che se seguiamo dei passi ben precisi.
Non sono del tutto convinto dello sviluppo che ho fatto, poiché il mio grafico è diverso da quello che mi da Wolfram.
Vi faccio vedere come ho fatto e spero che qualcuno possa darmi dei consigli in merito.

La funzione è:

$f(x)=logx - |x^2-3x+2|$

La funzione può esser scritta anche come:

$f(x)={ ( logx - x^2 +3x-2 ),( logx + x^2 -3x+2 ):}$

- DOMINIO:
L'argomento del logaritmo deve essere maggiore di 0, quindi x>0

- INTERSEZIONI CON GLI ASSI:
ASSE Y -> f(0) = log0 - |2| NON HA SOLUZIONI poiché l'argomento del logaritmo non può essere 0.

ASSE X -> f(x) = 0 -> x= 1 e x=2.5 circa (calcolato col metodo grafico)

Quindi ho come punto di intersezione il punto P(1,0)

- ASINTOTI

Applicando i limiti, non trovo alcun asintoto.

Calcolo poi la derivata:
$f'(x){ ( 1/x-2x+3),( 1/x+2x-3 ):}$

Ponendo $f'(x) >= 0$ ottengo le soluzioni:
${ ( 0
Ed ottengo quindi un punto di massimo in x=1/2 e di minimo in x=1

Calcolando la derivata seconda ottengo i flessi a:

$-sqrt2/2$ e $sqrt2/2$

Purtroppo il disegno che mi trovo è diverso da quello che mi da Wolfram, quindi vorrei capire dove ho sbagliato..


Grazie, a presto.

[Lo_zio_Tom]

"Beerk":
La prof ci ha detto che preferisce che se seguiamo dei passi ben precisi.

ed ha ragione!

"Beerk":... il mio grafico è diverso da quello che mi da Wolfram.

WA non serve...non usarlo che ti confondi le idee!


ora vediamo il da farsi

[Lo_zio_Tom]

"Beerk":
$f(x)={ ( logx - x^2 +3x-2 ),( logx + x^2 -3x+2 ):}$

devi indicare il domino per ogni tratto della funzione


$y={{: ( logx-|(x-1)(x-2)| ,;x in (0;1) uu(2;+oo) ),( logx+|(x-1)(x-2)| , ;x in [1;2] ) :}$

[Lo_zio_Tom]

"Beerk":
Calcolo poi la derivata:
$f'(x){ ( 1/x-2x+3),( 1/x+2x-3 ):}$

Ponendo $f'(x) >= 0$ ottengo le soluzioni:
${ ( 0
Ed ottengo quindi un punto di massimo in x=1/2 e di minimo in x=1

nell'intervallo $(0;1) uu(2;oo)$

la funzione vale

$y=logx -x^2+3x-2$

e la sua derivata è

$y'=1/x-2x+3$

se analizzi il segno ti accorgi che è sempre crescente fino a 1 e sempre decrescente oltre 2

mentre nell'intervallo $[1;2]$ essa vale $y=logx +x^2-3x+2$

con derivata $y=1/x+2x-3$ che è maggiore di zero SEMPRE in $[1;2]$

[Lo_zio_Tom]

la derivata seconda è sempre negativa nell'intervallo $(0;1) uu (2;oo)$ mentre è sempre positiva in $[1;2]$

ti manca da verificare eventuale asintoto obliquo ma il grafico è questo:

[Lo_zio_Tom]

non è in scala e non è fatto con WA....solo carta e penna

[Beerk]

"tommik":solo carta e penna

Grazie Tommik, innanzitutto ti ringrazio di cuore. Il grafico mi veniva molto simile se non per la "parte" di curva che va da 1 a 2.

Infatti il problema è proprio nella determinazione del segno della derivata prima.
Per il primo tratto, definito tra 0 ed 1 e da 2 a +infinito, se studio il segno della derivata, mi viene che:

$ 1/x - 2x + 3 >= 0$ -> Mi vengono due valori che non rientrano nel dominio.

Mentre per il secondo tratto, definito tra 1 e 2, mi viene che

$ 1/x + 2x - 3 >= 0 $ - > x>1 e x<1/2
In cosa sbaglio?

[Lo_zio_Tom]

"Beerk":
Mentre per il secondo tratto, definito tra 1 e 2, mi viene che

$ 1/x + 2x - 3 >= 0 $ - > x>1 e x<1/2
In cosa sbaglio?

niente. E' tutto giusto....hai trovato che la derivata è $>=0$ nell'intervallo


$(0;1/2]uu[1;+oo)$ ovvero è $>=0$ SEMPRE in $[1;2]$

[Beerk]

"tommik":[quote="Beerk"]
Mentre per il secondo tratto, definito tra 1 e 2, mi viene che


niente. E' tutto giusto....

[/quote]

Grazie mille tommik ^^
Alla fine mi son trovato.

Oggi cercherò di studiarmi il grafico della stessa funzione in cui anche il logaritmo è in valore assoluto:

$f(x)=|logx|-|x^2-3x+2|$

^^