Studio di funzione sui generis
Impazzisco con gli studi di funzione "sui generis" dove è quasi bandita "l'analiticità formale".
Vi propongo questo esercizio:
$ (1+sen^2(x))^(1/x) $
Non credo sia fattibile nella più classica delle modalità conosciute.
La funzione all'infinito positivo o negativo che sia, tende ad 1.
Il diagramma è tracciabile con qualsiasi tool.
Come potrebbe essere svolto uno studio "organico" di essa?
Grazie a tutti
A.
Vi propongo questo esercizio:
$ (1+sen^2(x))^(1/x) $
Non credo sia fattibile nella più classica delle modalità conosciute.
La funzione all'infinito positivo o negativo che sia, tende ad 1.
Il diagramma è tracciabile con qualsiasi tool.
Come potrebbe essere svolto uno studio "organico" di essa?
Grazie a tutti
A.
Risposte
Ciao Gandalf73,
Comincerei con l'osservare che la funzione $y = f(x) = (1 + sin^2 x)^(1/x) = e^{1/x ln(1 + sin^2 x)} $ ha dominio naturale $D = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ ed è ivi sempre positiva. Inoltre si ha:
$f(-x) = (1 + sin^2 x)^(1/-x) = 1/(1 + sin^2 x)^(1/x) = 1/f(x) \implies f(x) \cdot f(-x) = 1 $
Come hai già osservato si ha $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 $, sicché la funzione proposta ha un asintoto orizzontale di equazione $y = 1 $. Dato poi che si ha anche $\lim_{x \to 0} f(x) = 1 $, la funzione proposta si può estendere per continuità nel punto $x_0 = 0 $ ponendo
$f^{\star}(x) := {(1 \text{ se } x = 0 ),(f(x) \text{ altrove }):} $
Considerando l'identità trigonometrica $sin^2 x = 1 - cos^2 x $, si può anche scrivere la comoda maggiorazione seguente:
$f(x) = (2 - cos^2 x)^{1/x} \le 2^{1/x}$
Comincerei con l'osservare che la funzione $y = f(x) = (1 + sin^2 x)^(1/x) = e^{1/x ln(1 + sin^2 x)} $ ha dominio naturale $D = (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) $ ed è ivi sempre positiva. Inoltre si ha:
$f(-x) = (1 + sin^2 x)^(1/-x) = 1/(1 + sin^2 x)^(1/x) = 1/f(x) \implies f(x) \cdot f(-x) = 1 $
Come hai già osservato si ha $\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = 1 $, sicché la funzione proposta ha un asintoto orizzontale di equazione $y = 1 $. Dato poi che si ha anche $\lim_{x \to 0} f(x) = 1 $, la funzione proposta si può estendere per continuità nel punto $x_0 = 0 $ ponendo
$f^{\star}(x) := {(1 \text{ se } x = 0 ),(f(x) \text{ altrove }):} $
Considerando l'identità trigonometrica $sin^2 x = 1 - cos^2 x $, si può anche scrivere la comoda maggiorazione seguente:
$f(x) = (2 - cos^2 x)^{1/x} \le 2^{1/x}$
@ Pillo: grazie per il tuo prezioso ed immancabile supporto.
Da qui al solito , viene bandita la derivata prima e con pure considerazioni "qualitative" si giunge al diagramma.
La "parte" logaritimica dell'esponente e cioè $ ln(1 + sin^2 x) $ risulta periodica di periodo $ kpi $. Si avranno di conseguenza dei massimi relativi in $ {\frac{pi}{2}}+kpi$ e dei minimi in cui la funzione assume 1 in $ kpi $, (con k numero intero).
La cosa curiosa è che tracciando l'esponente di $ e $ (incluso di logaritmo) e la funzione di partenza (rappresentata dall'argomento del logaritmo e relativo esponente $ \frac{1}{x} $ ), i diagrammi risultanti sono uguali salvo una traslazione verso l'alto di una unità della funzione originale. La cosa mi ha sorpreso leggermente.....
Arrivati a questo punto mi sembra si sia detto tutto...o ci sono altre considerazioni da fare a riguardo ? (viene naturale che la derivata prima è inavvicinabile anche qui
e si proceda solo per considerazioni....)
Da qui al solito , viene bandita la derivata prima e con pure considerazioni "qualitative" si giunge al diagramma.
La "parte" logaritimica dell'esponente e cioè $ ln(1 + sin^2 x) $ risulta periodica di periodo $ kpi $. Si avranno di conseguenza dei massimi relativi in $ {\frac{pi}{2}}+kpi$ e dei minimi in cui la funzione assume 1 in $ kpi $, (con k numero intero).
La cosa curiosa è che tracciando l'esponente di $ e $ (incluso di logaritmo) e la funzione di partenza (rappresentata dall'argomento del logaritmo e relativo esponente $ \frac{1}{x} $ ), i diagrammi risultanti sono uguali salvo una traslazione verso l'alto di una unità della funzione originale. La cosa mi ha sorpreso leggermente.....
Arrivati a questo punto mi sembra si sia detto tutto...o ci sono altre considerazioni da fare a riguardo ? (viene naturale che la derivata prima è inavvicinabile anche qui
e si proceda solo per considerazioni....)
"Gandalf73":
.o mancherebbe qualche altra considerazione?
Ma questo dovresti dirlo tu. Perché stai facendo questo studio? C'è uno scopo o è solo un esercizio accademico? In quest'ultimo caso, stai cercando di capire qualche fenomeno in particolare?
@dissonance: solo un esercizio accademico riprendendone di vecchi che conservavo e che nn ricordavo affatto.
Quello che mi sento di dire è che nn erano tutte affrontabili in modalità standard, con la classicissima procedura formale: derivata prima...max e min...etc etc. In esempi come questi, quelle vie portano ad impantanarsi senza avvicinarsi ad alcun risultato...
Quello che mi sento di dire è che nn erano tutte affrontabili in modalità standard, con la classicissima procedura formale: derivata prima...max e min...etc etc. In esempi come questi, quelle vie portano ad impantanarsi senza avvicinarsi ad alcun risultato...
Ma qual è la traccia di questo esercizio? "Studiare la seguente funzione?" Quasi sicuramente c'era scritto anche altro. Sto reagendo così perché in realtà "studiare la seguente funzione" non significa niente. E' una cosa da superiori.
@dissonance: Esattamente "studiare la funzione e tracciarne il grafico".Semplicissimo il testo.
Il trucchetto era di non tuffarsi a capofitto nella metodologia classica (derivata prima e sua analisi del segno).In tal modo non se ne sarebbe usciti nemmeno dopo ore...e sempre con nulla in mano.
Per esempio se uno studiasse:
$ ln(1+sen^2(x))/x $
otterrebbe il medesimo risultato di
$ y = f(x) = (1 + sin^2 x)^(1/x) = e^{1/x ln(1 + sin^2 x)} $
salvo uno "shift" di una unità in alto della seconda funzione (quella originale) rispetto alla prima.
Mi chiedo se la cosa sia deducibile a priori.....
Il trucchetto era di non tuffarsi a capofitto nella metodologia classica (derivata prima e sua analisi del segno).In tal modo non se ne sarebbe usciti nemmeno dopo ore...e sempre con nulla in mano.
Per esempio se uno studiasse:
$ ln(1+sen^2(x))/x $
otterrebbe il medesimo risultato di
$ y = f(x) = (1 + sin^2 x)^(1/x) = e^{1/x ln(1 + sin^2 x)} $
salvo uno "shift" di una unità in alto della seconda funzione (quella originale) rispetto alla prima.
Mi chiedo se la cosa sia deducibile a priori.....
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