Studio di funzione semplice

[stespiga97]

Salve a tutti, nonostante questo studio di funzione sia semplice mi sta creando non pochi problemi. Potete darmi una mano nello svolgimento? soprattutto intersezioni con gli assi, segno e derivata prima

$ e^((1)/(x-1)) $

Grazie mille!

[Bremen000]

Prova a mettere quello che viene a te e cosa hai fatto e poi ci ragioniamo, ad esempio dominio, eventuali parità, segno, limiti agli estremi del dominio....

[feddy]

Prima di tutto nota che è un esponenziale. Pertanto non si annulla mai. Ossia, non ci sono intersezioni con l'asse $x$.

L'intersezione con l'asse $y$ è data dal punto $(0,1/e)$.

La funzione non è definita per $x=1$, infatti tale valore annulla il denominatore dell'esponente.

Facendo i limite a $+-infty$ otteniamo $1$, che quindi sarà asintoto orizzontale.

Per $x->1$ abbiamo un asintoto verticale, come dovevamo aspettarci.

Guarda cosa succede avvicinandosi a $1$ da dx e da sx.

Fai la derivata prima, per trovare eventuali massimi e minimi. Con queste informazioni sei in grado di disegnare il grafico.

@EDIT: Bremen mi ha preceduto

[stespiga97]

"Bremen000":Prova a mettere quello che viene a te e cosa hai fatto e poi ci ragioniamo, ad esempio dominio, eventuali parità, segno, limiti agli estremi del dominio....

"feddy":

Prima di tutto nota che è un esponenziale. Pertanto non si annulla mai. Ossia, non ci sono intersezioni con l'asse $ x $.

L'intersezione con l'asse $ y $ è data dal punto $ (0,1/e) $.

La funzione non è definita per $ x=1 $, infatti tale valore annulla il denominatore dell'esponente.

Facendo i limite a $ +-infty $ otteniamo $ 1 $, che quindi sarà asintoto orizzontale.

Per $ x->1 $ abbiamo un asintoto verticale, come dovevamo aspettarci.

Guarda cosa succede avvicinandosi a $ 1 $ da dx e da sx.

Fai la derivata prima, per trovare eventuali massimi e minimi. Con queste informazioni sei in grado di disegnare il grafico.

@EDIT: Bremen mi ha preceduto

Ciao a tutti e grazie per avermi risposto!
Allora il dominio lo definisco considerando solo in numeratore, quindi $ x != 1 $ .
Non vi dovrebbero essere simmetrie.
Per quando riguarda il segno la funzione è sempre positiva in quanto si tratta di un esponenziale.
Gli asintoti verticali li ho cercati in 1 e per 1+ mi da $ +\infty $ , mentre il limite per $ x rarr -\infty $ mi da zero,
Gli asintoti orizzontali mi danno entrambi come valore numerico 1, quindi abbiamo un asintoto da entrambe le parti.

Ho calcolato la derivata prima e dovrebbe essere $ -e^(1/(x-1))/(x-1)^2 $ .
Eguagliando a zero la derivata prima non trovo punti estremanti ( poiché $ -e^(1/(x-1))=0 $ non può essere).
Studiando il segno della derivata prima ottengo che la funzione è sempre decrescente poiché ho un fattore negativo ovvero $ -e^(1/(x-1)) $ diviso un fattore al quadrato che non può mai essere negativo.

La derivata seconda mi viene $ -(e^(1/(x-1))*(2x-1))/((x-1)^4 $
Eguagliandola a zero ottengo che $ x=1/2 $ e andando a studiare il segno ottengo che vi dovrebbe essere un flesso in $ x=1/2 $ ... Però andando a graficare questo flesso non lo trovo!!

[feddy]

Il limite a $-infty$ non fa $0$, bensì $1$.

La tua derivata non è proprio corretta: è $e^(1/(1-x))/((1-x)^2)$. Trai da qui le tue conclusioni.

Al fine di fare un grafico "qualitativo" non è necessaria la derivata seconda in questo caso.

Ad ogni modo $f''(x)$ risulta ovviamente diversa dalla tua. Si annulla in $x=3/2$, e pertanto lì si avrà un punto di flesso.

[stespiga97]

"feddy":Il limite a $-infty$ non fa $0$, bensì $1$.

La tua derivata non è proprio corretta: è $e^(1/(1-x))/((1-x)^2)$. Trai da qui le tue conclusioni.

Al fine di fare un grafico "qualitativo" non è necessaria la derivata seconda in questo caso.

Ad ogni modo $f''(x)$ risulta ovviamente diversa dalla tua. Si annulla in $x=3/2$, e pertanto lì si avrà un punto di flesso.

Aspetta non sto capendo.. perché $e^(1/(1-x))/((1-x)^2)$ ? Sono un po' confuso scusami

[feddy]

Ops scusa avevo derivata un'altra funzione, perdonami. La tua derivata è corretta. Sulla crescenza o la decrescenza della funzione non c'è molto da dire.

La derivata seconda è uguale alla tua salvo per quel segno meno, che è errato. Ad ogni modo si annulla in $x=1/2$, e perciò lì avrai un punto di flesso.