Studio di funzione reale di due variabili
È data la seguente funzione:
$ f(x, y) = (x-1)e^(y^2-x) $
È richiesto di:
a) determinare i punti stazionari e studiarne la natura
b) determinare i valori di massimo e minimo assoluti di $ f $ nel triangolo delimitato dalle rette $ y = x, y = -x, x = 2 $
Il dominio di $ f $ è ovviamente $ RR^2 $, ed è ivi continua. Inoltre è evidente che la funzione sia pari rispetto all'asse x per la presenza della variabile $ y $ nella sola potenza al quadrato.
Si può facilmente vedere che la funzione si annulla solo per $ x = 1 $, ed è quindi positiva per $ x > 1 $, negativa altrimenti. Informazione poco utile, comunque, ai fini dell'esercizio.
Per determinare i punti stazionari, possiamo già dire che la funzione è di classe $ C^\infty(RR^2) $, quindi non ci sarà bisogno di studiare i punti di non derivabilità. Inoltre sarà differenziabile (giusto?).
Calcoliamo quindi le due derivate parziali prime:
$ f_x = e^(y^2-x)(2-x) $
$ f_y = 2ye^(y^2-x)(x-1) $
Possiamo subito dire che esiste un solo punto stazionario, cioè in cui il gradiente si annulla, cioè per $ A(2, 0) $. Infatti per $ x = 1 $, $ f_x $ è non nullo.
È necessario ora determinare la natura dell'unico punto stazionario: è necessario quindi studiare la forma quadratica calcolata in quel punto.
Calcoliamo quindi le derivate parziali seconde:
$ f_(x x) = -e^(y^2-x)(3-x) $
$ f_(xy) = f_(yx) = (2-x)2ye^(y^2-x) $
$ f_(yy) = (x-1)e^(y^2-1)(4y^2+2) $
Procediamo quindi a formulare la forma quadratica di $ f $ nell'intorno del punto $ A $.
$ q(bar(h)) = f_(x x)(A)h_x^2 + (f_(xy) + f_(yx))(A)h_xh_y + f_(yy)(A)h_y^2 = e^(-2)(2h_y^2 - h_x^2) $
È subito evidente che il determinante dell'Hessiano (a cui la forma quadratica è intimamente legata) è negativo, per cui $ A $ è un punto di sella.
Non so però ora procedere. Nel caso in cui il punto fosse stato un punto di minimo o massimo assoluto, avrei potuto tranquillamente restringere $ f $ alle curve delimitanti l'insieme su descritto (sapendo che la funzione non può che crescere o decrescere), ma essendo un punto di sella non saprei.
$ f(x, y) = (x-1)e^(y^2-x) $
È richiesto di:
a) determinare i punti stazionari e studiarne la natura
b) determinare i valori di massimo e minimo assoluti di $ f $ nel triangolo delimitato dalle rette $ y = x, y = -x, x = 2 $
Il dominio di $ f $ è ovviamente $ RR^2 $, ed è ivi continua. Inoltre è evidente che la funzione sia pari rispetto all'asse x per la presenza della variabile $ y $ nella sola potenza al quadrato.
Si può facilmente vedere che la funzione si annulla solo per $ x = 1 $, ed è quindi positiva per $ x > 1 $, negativa altrimenti. Informazione poco utile, comunque, ai fini dell'esercizio.
Per determinare i punti stazionari, possiamo già dire che la funzione è di classe $ C^\infty(RR^2) $, quindi non ci sarà bisogno di studiare i punti di non derivabilità. Inoltre sarà differenziabile (giusto?).
Calcoliamo quindi le due derivate parziali prime:
$ f_x = e^(y^2-x)(2-x) $
$ f_y = 2ye^(y^2-x)(x-1) $
Possiamo subito dire che esiste un solo punto stazionario, cioè in cui il gradiente si annulla, cioè per $ A(2, 0) $. Infatti per $ x = 1 $, $ f_x $ è non nullo.
È necessario ora determinare la natura dell'unico punto stazionario: è necessario quindi studiare la forma quadratica calcolata in quel punto.
Calcoliamo quindi le derivate parziali seconde:
$ f_(x x) = -e^(y^2-x)(3-x) $
$ f_(xy) = f_(yx) = (2-x)2ye^(y^2-x) $
$ f_(yy) = (x-1)e^(y^2-1)(4y^2+2) $
Procediamo quindi a formulare la forma quadratica di $ f $ nell'intorno del punto $ A $.
$ q(bar(h)) = f_(x x)(A)h_x^2 + (f_(xy) + f_(yx))(A)h_xh_y + f_(yy)(A)h_y^2 = e^(-2)(2h_y^2 - h_x^2) $
È subito evidente che il determinante dell'Hessiano (a cui la forma quadratica è intimamente legata) è negativo, per cui $ A $ è un punto di sella.
Non so però ora procedere. Nel caso in cui il punto fosse stato un punto di minimo o massimo assoluto, avrei potuto tranquillamente restringere $ f $ alle curve delimitanti l'insieme su descritto (sapendo che la funzione non può che crescere o decrescere), ma essendo un punto di sella non saprei.
Risposte
non ho controllato tutti i calcoli
se è un punto di sella,il minimo ed il massimo vengono assunti dalla funzione sulla frontiera
se è un punto di sella,il minimo ed il massimo vengono assunti dalla funzione sulla frontiera
Quindi è giusto fare così?
$ phi_1(x) = f(x, x) = (x-1)e^(x^2-x) $ per $ x in [0, 2] $
$ phi_2(x) = f(x, -x) = f(x, x) $ per la parità di $ f $ rispetto all'asse x
$ phi_3(y) = f(2, y) = e^(y^2-2) $ per $ y in [-2, 2] $
Si trova, derivando le tre restrizioni, che $ phi'_1(x) = phi'_2(x) $ non si annullano mai, e sono sempre positive, dunque il massimo è assunto all'estremo destro dell'intervallo, cioè per $ x = 2 $ (pari a $ e^2 $, mentre lungo $ phi_3(y) $ la funzione è pari, ha un punto di minimo nel punto di sella ($ f(2, 0) = e^(-2) $) e due punti di massimo alle intersezioni con gli altri due lati del triangolo.
Nell'insieme su definito (chiamiamolo $ D $), dunque:
$ min_((x,y) in D) f = e^(-2) $ assunto in $ B(2, 2), C(2, -2) $
$ max_((x,y) in D) f = e^2 $ assunto nel punto di sella $ A(2, 0) $.
$ phi_1(x) = f(x, x) = (x-1)e^(x^2-x) $ per $ x in [0, 2] $
$ phi_2(x) = f(x, -x) = f(x, x) $ per la parità di $ f $ rispetto all'asse x
$ phi_3(y) = f(2, y) = e^(y^2-2) $ per $ y in [-2, 2] $
Si trova, derivando le tre restrizioni, che $ phi'_1(x) = phi'_2(x) $ non si annullano mai, e sono sempre positive, dunque il massimo è assunto all'estremo destro dell'intervallo, cioè per $ x = 2 $ (pari a $ e^2 $, mentre lungo $ phi_3(y) $ la funzione è pari, ha un punto di minimo nel punto di sella ($ f(2, 0) = e^(-2) $) e due punti di massimo alle intersezioni con gli altri due lati del triangolo.
Nell'insieme su definito (chiamiamolo $ D $), dunque:
$ min_((x,y) in D) f = e^(-2) $ assunto in $ B(2, 2), C(2, -2) $
$ max_((x,y) in D) f = e^2 $ assunto nel punto di sella $ A(2, 0) $.
aspetta un attimo..
le funzioni $phi_1(x),phi_2(x)$ assumono il minimo $-1$ per $x=0$ e il massimo $e^2$ per $x=2$
la funzione $phi_3(y)$ assume massimo $e^2$ per $y=+-2$ e minimo $e^(-2)$ per $y=0$
quindi, in tutto $D$
il massimo è $e^2$ e viene assunto in $(2,2),(2,-2)$
il minimo è $-1$ e viene assunto in $(0,0)$
le funzioni $phi_1(x),phi_2(x)$ assumono il minimo $-1$ per $x=0$ e il massimo $e^2$ per $x=2$
la funzione $phi_3(y)$ assume massimo $e^2$ per $y=+-2$ e minimo $e^(-2)$ per $y=0$
quindi, in tutto $D$
il massimo è $e^2$ e viene assunto in $(2,2),(2,-2)$
il minimo è $-1$ e viene assunto in $(0,0)$
Ah, si, giusto, dovrei comunque controllare gli estremi del dominio.
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