Studio di funzione razionale con modulo e logaritmo

[senter]

Salve,
questa è la funzione che dovrei studiare:

$f(x) = |x+2|-log(1-4/x)$

Io ho pensato che in questa funzione è indifferente il segno che porta il modulo, ma è importante studiare l'argomento del logaritmo. Perciò l'unica soluzione che mi viene in mente è di impostare il sistema cosi:

${(x!=0),(1-4/x > 0):}$

E' giusto fin qui?

Adesso io per il grafico del dominio traccerei una linea continua per $x!=0$ e metterei una "X" sullo $0$ per identificare che è escluso dal dominio; mentre:

$1-4/x > 0 ==> -4/x > -1 ==> 1/x > 1/4 ==> x>4$

quindi traccerei una linea che va da $4$ escluso a $+oo$!!
Ma così non è giusto perchè il dominio sarebbe $(4,+oo)$

Dove è che sbaglio? Di questo esercizio non ho lo svolgimento ma Wolfram Alpha mi da che il dominio deve essere

[albertobosia]

per favore, ricontrolla quella catena di disequazioni: ti concedo il beneficio del dubbio sperando che sia un errore di battitura e non una coppia di erroracci di ragionamento.

ricordati che quando fai queste disequazioni moltiplicare per \(-1\) cambia il segno, per questo devi distinguere i due casi in cui \(x<0\) e \(x>0\).

[senter]

${(x<0),(1+4/x>0):} => {(x<0),(x>0 vv x< -4):}$



${(x>0),(1-4/x > 0):} => {(x>0),(x>4 vv x>0):}$

[albertobosia]

ecco, bravo

[senter]

"albertobosia":ecco, bravo

No credo di aver sbagliato...

"senter":${(x<0),(1+4/x>0):} => {(x<0),(x>0 vv x< -4):}$



${(x>0),(1-4/x > 0):} => {(x>0),(x>4 vv x>0):}$

Nella quarta parentesi non dovrebbe essere $x>4 vv x<0$??

[albertobosia]

uhm... hai ragione, ho dato un occhio di sfuggita.
tra l'altro, come ci sei arrivato?
nel caso \(x>0\) puoi fare quello che hai (più o meno) fatto nel primo post, ossia

\(\displaystyle1-\frac4x>0\implies-\frac4x>-1\underbrace{\implies\frac1x\color{red}<\frac14\implies}_{\underset{\text{WARNING}}\Uparrow}x>4\)
quindi il secondo sistemino viene

\(\displaystyle\begin{cases}x>0\\1-\frac4x>0\end{cases}\implies\begin{cases}x>0\\x>4\end{cases}\)

[senter]

"albertobosia":uhm... hai ragione, ho dato un occhio di sfuggita.
tra l'altro, come ci sei arrivato?
nel caso \(x>0\) puoi fare quello che hai (più o meno) fatto nel primo post, ossia

\(\displaystyle1-\frac4x>0\implies-\frac4x>-1\underbrace{\implies\frac1x\color{red}<\frac14\implies}_{\underset{\text{WARNING}}\Uparrow}x>4\)
quindi il secondo sistemino viene

\(\displaystyle\begin{cases}x>0\\1-\frac4x>0\end{cases}\implies\begin{cases}x>0\\x>4\end{cases}\)

Perche prendi solo $x>0 vv x>4$ escludendo $x<0$??
L'hai dedotto dal grafico che si poteva escludere?

[albertobosia]

dove scrivo "il secondo sistemino viene..." intendo "il SECONDO sistemino viene..."
non ho detto nulla a riguardo del primo, in cui hai analizzato \(x<0\).

a scanso di equivoci, risolviamo anche questo, ok?
facciamo una bella sostituzione tonificante per i muscoli \(t=-x\)
\(\displaystyle1-\frac4{(-t)}>0\implies1+\frac4t>0\)
\(\displaystyle1+\frac4t>0\implies1>-\frac4t\implies t>-4\implies-x>-4\implies x<4\)

\(\displaystyle\begin{cases}x<0\\1-\frac4x>0\end{cases}\implies\begin{cases}x<0\\x<4\end{cases}\)

[senter]

"albertobosia":dove scrivo "il secondo sistemino viene..." intendo "il SECONDO sistemino viene..."
non ho detto nulla a riguardo del primo, in cui hai analizzato \(x<0\).

a scanso di equivoci, risolviamo anche questo, ok?
facciamo una bella sostituzione tonificante per i muscoli \(t=-x\)
\(\displaystyle1-\frac4{(-t)}>0\implies1+\frac4t>0\)
\(\displaystyle1+\frac4t>0\implies1>-\frac4t\implies t>-4\implies-x>-4\implies x<4\)

\(\displaystyle\begin{cases}x<0\\1-\frac4x>0\end{cases}\implies\begin{cases}x<0\\x<4\end{cases}\)

Ommioddio

Allora ho sbagliato tutto!!!! Perchè come scritto sopra io ho fatto

${(x<0),(1+4/x>0):} => {(x<0),(x>0 vv x< -4):}$



${(x>0),(1-4/x > 0):} => {(x>0),(x>4 vv x>0):}$

mentre a te esce $x<0 vv x<4$!!