Studio di funzione, problema nel trovare i punti critici

[Anfo89]

Salve a tutti,

sto svolgendo gli esercizi per prepararmi per l'esame di AM2 e mi sono bloccato su un esecizio relativo allo studio dell'andamento della f(x,y).

$f(x,y)=x^4+y^4-2(x+y)^2+2$

Come sempre calcolo il gradiente per porlo uguale al vettore nullo per avere i punti critici:

$fx=4x^3-4x-4y=0$ -> $x^3-x-y=0$

$fy=4y^3-4y-4x=0$ -> $y^3-y-x=0$

E qui mi son bloccato, perché non saprei come ricavare i punti critici dato che ho delle equazioni di 2 var

In tutti gli altri esercizi mi son trovato con equazioni di una var che mi ritornavano uno o più punti critici e quindi andavo avanti con l'esercizio senza problemi, qui non so cosa fare.


Grazie anticipatamente a chi vorrà darmi una mano.

[dissonance]

Prova a sottrarre la seconda equazione dalla prima.

[giulia.cona]

hai provato a mettere le due equazioni a sistema?
p.s. chiedo scusa se ho dato un suggerimento simile a dissonance, ma penso che abbiamo risposto più o meno alla pari...

[Anfo89]

"giulia.cona":hai provato a mettere le due equazioni a sistema?
p.s. chiedo scusa se ho dato un suggerimento simile a dissonance, ma penso che abbiamo risposto più o meno alla pari...

Mettendo a sistema mi trovo con

$y = x^3-x$
$x^5(x^4-3x^2+3)=0$

L'equazione di quardo grado non ha radici reali, mentre per la legge di ann del prodotto $x^5=0$ mi da come radiec x=0 da cui y=0

Quindi dopo tutto l'ambaradan l'unico punto critico è (0,0) ?

[ciampax]

"Anfo89":
Quindi dopo tutto l'ambaradan l'unico punto critico è (0,0) ?

Eh già.

[Anfo89]

"ciampax":[quote="Anfo89"]
Quindi dopo tutto l'ambaradan l'unico punto critico è (0,0) ?

Eh già. [/quote]

Ok

L'importante è che ho capito come comportarmi in questi casi.

Grazie a tutti

[Anfo89]

Come non detto, non ho finito ancora

Calcolando l'Hessiamo mi esce furi zero. Se pongo y=mx esce fuori come derivata prima: $(1+m^4)x^3-(m^2+2m+1)x +1/2=0$ che non ho idea di come risolvere

[Rigel1]

Osserva che $f(x, -x) = 2 + 2x^4$ ha un minimo (assoluto) in $x=0$, mentre $f(x,x) = 2-8x^2+x^4$ ha un massimo (relativo) in $x=0$.

[Anfo89]

"Rigel":Osserva che $f(x, -x) = 2 + 2x^4$ ha un minimo (assoluto) in $x=0$, mentre $f(x,x) = 2-8x^2+x^4$ ha un massimo (relativo) in $x=0$.

... e quindi in (0,0) ho un punto di sella.

c'è un criterio per scegliere la sotituzione y = "XXXXX" più adatta per analizzare la funzione? Oppure devo andare un pò a tentativi?

Intanto grazie per il tuo aiuto

[Rigel1]

Quando l'Hessiano è nullo devi andare a occhio; nell'esempio in questione si vedeva subito la parte quadratica semidefinita negativa $-2(x+y)^2$ e una parte di quarto grado $x^4+y^4$ strettamente positiva fuori dall'origine. Quindi, "in genere" vicino all'origine vince la parte quadratica (negativa), ma se ti metti nella direzione che annulla la parte quadratica rimane solo la parte di quarto grado (che è positiva).

[Anfo89]

"Rigel":Quando l'Hessiano è nullo devi andare a occhio; nell'esempio in questione si vedeva subito la parte quadratica semidefinita negativa $-2(x+y)^2$ e una parte di quarto grado $x^4+y^4$ strettamente positiva fuori dall'origine. Quindi, "in genere" vicino all'origine vince la parte quadratica (negativa), ma se ti metti nella direzione che annulla la parte quadratica rimane solo la parte di quarto grado (che è positiva).

Ho capito, grazie!