Studio di funzione, problema derivata prima
$f(x)=\frac{sqrt(3-x)*|1-x|}{x-4}$
Allora ho:
1)Dominio $D=(-\infty ; 3]$
2)Segno:
$f(x)>0: \nexists x in D | f(x)>0$
$f(x)=0: x=3; x=1$
$f(x)<0: AA x in D-{1;3}$
3)Limiti importanti
Si ha che 3 è punto di accumulazione interno al dominio D. Quindi non può essere punto di discontinuità, in quanto per esserlo deve essere esterno al dominio e di accumulazione per esso.
Essendo inoltre $D=(-\infty;3]$, non ha senso scrivere il limite per $x \rarr +\infty$. Faccio invece il limite per $x \rarr -\infty$.
$lim_(x->-\infty)\frac{sqrt(3-x)*|1-x|}{x-4}$
Qui mi dà un problema. Io ho considerato che, per $x \rarr -\infty; |1-x|=x-1$. E' lecito ciò? Così facendo ho:
$lim_(x->-\infty)\frac{sqrt(3-x)*(x-1)}{x-4}$ cioé $lim_(x->-\infty)\frac{x*sqrt(3-x)*(1-1/x)}{x*(1-4/x)}$ cioé $lim_(x ->-\infty) sqrt(3-x) = sqrt(+\infty)=+\infty$.
Questo è impossibile, dato che dal segno della funzione sappiamo che deve essere sempre negativa.
Infatti ho provato a disegnare il grafico con Derive, e si vede bene come per $x -> -\infty$ la funzione $f(x)->-\infty$.
L'altro grosso problema viene quando provo a fare la derivata prima.
Spezzando la funzione in due parti per togliere il valore assoluto ho:
$f'(x)={(\frac{sqrt(3-x)*(1-x)}{x-4},if 0
Dove sbaglio? Nel procedimento presumo, dato che non ho ancora ben capito come comportarmi quando devo derivare una funzione con un valore assoluto in mezzo. Una mano?
Come sempre, grazie a tutti!
Allora ho:
1)Dominio $D=(-\infty ; 3]$
2)Segno:
$f(x)>0: \nexists x in D | f(x)>0$
$f(x)=0: x=3; x=1$
$f(x)<0: AA x in D-{1;3}$
3)Limiti importanti
Si ha che 3 è punto di accumulazione interno al dominio D. Quindi non può essere punto di discontinuità, in quanto per esserlo deve essere esterno al dominio e di accumulazione per esso.
Essendo inoltre $D=(-\infty;3]$, non ha senso scrivere il limite per $x \rarr +\infty$. Faccio invece il limite per $x \rarr -\infty$.
$lim_(x->-\infty)\frac{sqrt(3-x)*|1-x|}{x-4}$
Qui mi dà un problema. Io ho considerato che, per $x \rarr -\infty; |1-x|=x-1$. E' lecito ciò? Così facendo ho:
$lim_(x->-\infty)\frac{sqrt(3-x)*(x-1)}{x-4}$ cioé $lim_(x->-\infty)\frac{x*sqrt(3-x)*(1-1/x)}{x*(1-4/x)}$ cioé $lim_(x ->-\infty) sqrt(3-x) = sqrt(+\infty)=+\infty$.
Questo è impossibile, dato che dal segno della funzione sappiamo che deve essere sempre negativa.
Infatti ho provato a disegnare il grafico con Derive, e si vede bene come per $x -> -\infty$ la funzione $f(x)->-\infty$.
L'altro grosso problema viene quando provo a fare la derivata prima.
Spezzando la funzione in due parti per togliere il valore assoluto ho:
$f'(x)={(\frac{sqrt(3-x)*(1-x)}{x-4},if 0
Dove sbaglio? Nel procedimento presumo, dato che non ho ancora ben capito come comportarmi quando devo derivare una funzione con un valore assoluto in mezzo. Una mano?
Come sempre, grazie a tutti!
Risposte
Il problema in entrambi i casi è che sbagli a togliere il valore assoluto.
Il valore assoluto in generale è definito così:
$|f(x)| = $
$f(x) $(se $f(x) >=0$)
$-f(x)$ (se $f(x)<0$)
In questo caso:
$1-x >=0 \Rightarrow x<=1$
allora
$|1-x|=$ $1-x$ se $x<=1$
$|1-x|=$ $x-1$ se $x>1$
Paola
Il valore assoluto in generale è definito così:
$|f(x)| = $
$f(x) $(se $f(x) >=0$)
$-f(x)$ (se $f(x)<0$)
In questo caso:
$1-x >=0 \Rightarrow x<=1$
allora
$|1-x|=$ $1-x$ se $x<=1$
$|1-x|=$ $x-1$ se $x>1$
Paola
Allora la funzione che tu hai, se consideri i casi del valore assoluto diventa
$ f(x)={((\sqrt(3-x)*(1-x))/(x-4), if x <= 1), ((\sqrt(3-x)*(x-1))/(x-4), if x > 1):} $. Quindi, si può procedere a risolvere i due problemi:
a) limite
In questo caso, per $ x \to -\infty $, devi considerare la funzione per $ x <= 1 $ avendo $ \lim_{x \to -\infty}(\sqrt(3-x)*(1-x))/(x-4)=-\infty $.
b) derivata prima
Il problema nasce dall'aver analizzato male il valore assoluto. Tieni conto, poi, che i due casi non sono $ 0
$f'(x)={((x^2-11x+22)/(2\sqrt((3-x)(x-4)^2)), if x<=1), (-(x^2-11x+22)/(2\sqrt((3-x)(x-4)^2)), if 1
A questo punto il gioco è fatto ...
ok?
$ f(x)={((\sqrt(3-x)*(1-x))/(x-4), if x <= 1), ((\sqrt(3-x)*(x-1))/(x-4), if x > 1):} $. Quindi, si può procedere a risolvere i due problemi:
a) limite
In questo caso, per $ x \to -\infty $, devi considerare la funzione per $ x <= 1 $ avendo $ \lim_{x \to -\infty}(\sqrt(3-x)*(1-x))/(x-4)=-\infty $.
b) derivata prima
Il problema nasce dall'aver analizzato male il valore assoluto. Tieni conto, poi, che i due casi non sono $ 0
$f'(x)={((x^2-11x+22)/(2\sqrt((3-x)(x-4)^2)), if x<=1), (-(x^2-11x+22)/(2\sqrt((3-x)(x-4)^2)), if 1
A questo punto il gioco è fatto ...
ok?
@Aliseo: si ok! Tutto a posto!
Grazie mille!
Grazie mille!
prego
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo