Studio di funzione parametrica e determinare il numero delle soluzioni di un equazione al variare del parametro.

[LEOANTO99]

Salve a tutti; sono nuovo del forum e studio ingegneria meccanica e sono al primo anno, la mia professoressa nei compiti di analisi I richiede spesso di studiare una qualsiasi funzione f(x) ( asintoti, derivata,dominio ecc.) e di determinare il numero delle soluzioni di un equazione parametrica.
esempio: ho come funzione f(x)=xsqrt(|ax-1|) e fin qui ci sono, eseguo un semplice studio di funzione parametrica.
poi mi chiede però di Discutere il numero delle soluzioni dell'equazione f(x)=mx al variare del parametro m appartenente ad R.
Non riesco a capire come procedere...lei mette le funzioni a sistema ma non riesco ad andare avanti. avete qualche soluzione a riguardo? o qualche strategia da utilizzare generalmente o ogni caso è diverso? grazie e scusate del disturbo

[pilloeffe]

Ciao leon99,

Benvenuto sul forum!
Beh, l'equazione $f(x) = mx $ si può riscrivere sotto forma di sistema:

$ \{(y = f(x)),(y = mx):}$

Non è altro che l'intersezione fra il grafico della tua funzione e la retta passante per l'origine $y = mx $: a seconda del grafico di $f(x) $ e della pendenza $m$ della retta avrai una soluzione, 2 soluzioni, nessuna soluzione, etc.

[LEOANTO99]

scusa ancora, ma la mia professoressa toglie il parametro "a" dalla funzione pertanto diventa f(x)=xsqrt(x-1)...
dopo di che quindi devo risolvere il sistema con la nuova funzione senza parametro?

[gugo82]

Conviene che riporti interamente il testo dell'esercizio.

[LEOANTO99]

1) Valutare l’andamento qualitativo delle funzioni f(x)=xsqrt(|ax-1|) (dominio, asintoti, derivabilità, max/min,
grafico) evidenziando l'influenza del parametro a appartiene R .
2) Discutere il numero delle soluzioni dell'equazione f1(x)=mx al variare del parametro m appartiene R .
questo è il testo esatto dell'esercizio.

[pilloeffe]

"leon99":dopo di che quindi devo risolvere il sistema con la nuova funzione senza parametro?

Certamente. In tal caso il sistema diventa il seguente:

$ \{(y = f(x) = x\sqrt{x - 1}),(y = mx):} $

Per il resto vale lo stesso discorso che ti ho già fatto nel mio post precedente.

[gugo82]

"leon99":1) Valutare l’andamento qualitativo delle funzioni f(x)=xsqrt(|ax-1|) (dominio, asintoti, derivabilità, max/min,
grafico) evidenziando l'influenza del parametro a appartiene R .
2) Discutere il numero delle soluzioni dell'equazione f1(x)=mx al variare del parametro m appartiene R .
questo è il testo esatto dell'esercizio.

Nel punto 1 io avrei usato un pedice $a$, scrivendo una cosa tipo $f_a(x) := x sqrt(|ax- 1|)$. In tal modo, l’equazione $f_1(x)=m x$ si ottiene ponendo $a=1$.

Ad ogni buon conto l’equazione $x sqrt(|x-1|) = mx$ si può risolvere sia analiticamente, sia per via grafica, e l’un modo può essere sfruttato per controllare l’altro.
Facendo un grafico si nota che: per $m<0$ l’equazione ha unica soluzione ($x=0$); per $m=0$ l’equazione ha due soluzioni, ($x=0,1$); per $0< m <1$ ha tre soluzioni ($x=0$, $x=xi_1$ e $x=xi_2$ con $01$); per $m > 1$ ha tre soluzioni ($x=0$, $x=xi_1$ e $x=xi_2$ con $xi_1<0<1

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