Studio di Funzione, monotonia

[lukixx]

salve a tutti, spero possiate aiutarmi perchè non riesco a studiare la monotonia di questa funzione:
x - sqrt(x^2 + 8x + 1)
perchè mi trovo che la sua derivata è sempre negativa e ciò significa che la funzione è sempre decrescente tuttavia quando tende a -inf la funzione "vale" -inf e a -4+sqrt(15) vale -4+sqrt(15) quindi la funzione è crescente in questo intervallo. Mi date una mano?

[mazzarri1]

ciao Lukixx

$y=x-sqrt(x^2+8x+1)$

prima il campo di esistenza!!

$x^2+8x+1>=0$

quindi

$x<=-4-sqrt 15$ vel $x>=-4+sqrt 15$

adesso la derivata

$y'=1- (x+4)/sqrt(x^2+8x+1)$

cioè
$y'=(sqrt(x^2+8x+1)-x-4)/sqrt(x^2+8x+1)$

per studiare la monotonia della funzione e vedere dove è crescente devi fare

$sqrt(x^2+8x+1)-x-4>0$

$sqrt(x^2+8x+1)>x+4$

che diventa i sistemi

${(x+4>0),(x^2+8x+1>(x+4)^2):}$

vel

${(x+4<0),(x^2+8x+1>=0):}$

il primo sistema non è mai verificato, quindi per $x> -4$ (la parte destra del dominio) la derivata NON è positiva, sarà negativa...

il secondo sistema è verificato nel campo di esistenza ($x< -4-sqrt 15$)

quindi in definitiva hai che per $x< -4-sqrt 15$ la funzione è CRESCENTE, per $x> -4+sqrt 15$ la funzione è DECRESCENTE

ciao

[lukixx]

grazie mille, avevo dimenticato il doppio sistema della disequazione irrazionale