Studio di funzione (MAX e min)
Salve a tutti ho la funzione: $ [sqrt(x^3-1)]/sqrtx $ e devo studiare i min e max quindi vado a fare la derivata.
$ fprime (x)=[(3x^2sqrtx)/(2sqrt(x^3-1))-sqrt(x^3-1)/(2sqrtx)]/x $ svolgendi le somme al numeratore ho che $ fprime (x)=[3x^2sqrtxcdot2sqrtx-sqrt(x^3-1)cdot2sqrt(x^3-1)]/[2sqrt(x^3-1)cdot2sqrtxcdotx] $
Quindi $ fprime (x)=[3x^2cdot2x-2(x^3-1)]/[2sqrt(x^3-1)cdot2sqrtxcdotx] $ Posso raccogliere il $2$ e ho che
$ fprime (x)=[3x^2cdotx-(x^3-1)]/[sqrt(x^3-1)sqrtxcdotx] $ Svolgo il numeratore ed ho che $ fprime (x)=(2x^3+1)/[sqrt(x^3-1)sqrtxcdotx $ A questo punto pongo tutto $ >= 0 $ e vado a studiare prima i tre fattori del denominatore e mi viene $ x> 1 $ poi il numeratore che mi viene $ x>=root(3)(-(1) / (2)) $ li vado a confrontare ed ho che $root(3)(-(1) / (2)) $ è un punto di MAX e $1$ dovrebbe essere un punto di min ma siccome è escluso dal Dominio della funzione non lo considero. Il procedimento è giusto? Sui risultati delle dispense c'è però scritto che il punto $root(3)(-(1) / (2)) $ è un punti di min e non di MAX. Spero di essere stato chiaro. Grazi in anticipo:)
$ fprime (x)=[(3x^2sqrtx)/(2sqrt(x^3-1))-sqrt(x^3-1)/(2sqrtx)]/x $ svolgendi le somme al numeratore ho che $ fprime (x)=[3x^2sqrtxcdot2sqrtx-sqrt(x^3-1)cdot2sqrt(x^3-1)]/[2sqrt(x^3-1)cdot2sqrtxcdotx] $
Quindi $ fprime (x)=[3x^2cdot2x-2(x^3-1)]/[2sqrt(x^3-1)cdot2sqrtxcdotx] $ Posso raccogliere il $2$ e ho che
$ fprime (x)=[3x^2cdotx-(x^3-1)]/[sqrt(x^3-1)sqrtxcdotx] $ Svolgo il numeratore ed ho che $ fprime (x)=(2x^3+1)/[sqrt(x^3-1)sqrtxcdotx $ A questo punto pongo tutto $ >= 0 $ e vado a studiare prima i tre fattori del denominatore e mi viene $ x> 1 $ poi il numeratore che mi viene $ x>=root(3)(-(1) / (2)) $ li vado a confrontare ed ho che $root(3)(-(1) / (2)) $ è un punto di MAX e $1$ dovrebbe essere un punto di min ma siccome è escluso dal Dominio della funzione non lo considero. Il procedimento è giusto? Sui risultati delle dispense c'è però scritto che il punto $root(3)(-(1) / (2)) $ è un punti di min e non di MAX. Spero di essere stato chiaro. Grazi in anticipo:)
Risposte
L'errore è nello studio del segno del denominatore della derivata. Il segno del denominatore è $x>=0$, non $x>1$. Quando calcoli il segno di $\sqrt{x^3-1}$, stai attento alla differenza tra il segno della radice e il segno del radicando.
Mi permetto un piccolo consiglio e un'osservazione.
Per il calcolo della derivata risulta più semplice scrivere la funzione come $f(x)=((x^3-1)/x)^{1/2}$ perchè eviti tutte quei fratte, ma li va a gusti personali.
L'osservazione è che, tralasciando l'errore del calcolo del denomitore, escludi $1$ dicendo che non appartiene al dominio, ma il dominio della funzione è: $(-oo,0) uu [1,+oo)$.
Mi permetto un piccolo consiglio e un'osservazione.
Per il calcolo della derivata risulta più semplice scrivere la funzione come $f(x)=((x^3-1)/x)^{1/2}$ perchè eviti tutte quei fratte, ma li va a gusti personali.
L'osservazione è che, tralasciando l'errore del calcolo del denomitore, escludi $1$ dicendo che non appartiene al dominio, ma il dominio della funzione è: $(-oo,0) uu [1,+oo)$.
Ok ho trovato l'errore. Adesso però seguendo il tuo consiglio mi risulta che anche 1 è un punto di minimo. Me lo potete confermare? Perchè nelle dispense tra i risultati c'è scritto che solo $ root(3)(-(1) / (2)) $ è punto di minimo. Però potrebbe esserci un errore eh. Grazie in anticipo:)
Il mio era solo un suggerimento per facilitare i conti, che comunque erano giusti.
In ogni caso, la derivata dovrebbe uscirti $f'(x)=1/2 \sqrt{(x)/(x^3-1)} ((2x^3+1)/(x^2))$, il cui segno dipende solo da segno di $2x^3+1$. Avrai quindi che $f'(x)>0$ per $x>-root(3)(-1/2)$, da cui $x=-root(3)(-1/2)$ è punto di minimo e non ci sono punti di massimo.
In ogni caso, la derivata dovrebbe uscirti $f'(x)=1/2 \sqrt{(x)/(x^3-1)} ((2x^3+1)/(x^2))$, il cui segno dipende solo da segno di $2x^3+1$. Avrai quindi che $f'(x)>0$ per $x>-root(3)(-1/2)$, da cui $x=-root(3)(-1/2)$ è punto di minimo e non ci sono punti di massimo.
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