Studio di funzione logaritmica in due variabili
Salve a tutti sto affrontando il seguente esercizio, ma ho tanti dubbi.
Posto $X={(x,y) in R^2: xy =0} $ e detta $f$ la funzione reale definita dalla legge:
$f(x,y)$ $=$ $\{(xylog|xy|,if(x;y)in R^2 - X),(0,if (x;y) in X):}$
i) provare che $f$ è continua in $R^2$;
ii) determinare il massimo ed il minimo assoluti di $f$ in $T={(x,y)in R^2:x^2+y^2 <= e/2, x>=0, y>=0}$
Per il primo punto noto che la funzione è sempre definita.
Per il punto due prima mi calcolo i punti critici derivando la funzione ottengo che il punto critico è $(0,0)$ dove la funzione fa $0$, disegnandomi il dominio $T$ osservo che la funzione fa $0$ per $(0,e/2)$ e $(e/2,0)$. Mi rimane da capire cosa avviene nella frontiera che è rappresentata dalla quarta parte del cerchio di raggio $e/2$ definita in $x>=0, y>=0$.
Per capire cosa avviene in quella frontiera devo sostituire a $x =cost$ e a $y = sent$?
Ammesso che il mio ragionamento sia corretto.
Grazie
Emanuele
Posto $X={(x,y) in R^2: xy =0} $ e detta $f$ la funzione reale definita dalla legge:
$f(x,y)$ $=$ $\{(xylog|xy|,if(x;y)in R^2 - X),(0,if (x;y) in X):}$
i) provare che $f$ è continua in $R^2$;
ii) determinare il massimo ed il minimo assoluti di $f$ in $T={(x,y)in R^2:x^2+y^2 <= e/2, x>=0, y>=0}$
Per il primo punto noto che la funzione è sempre definita.
Per il punto due prima mi calcolo i punti critici derivando la funzione ottengo che il punto critico è $(0,0)$ dove la funzione fa $0$, disegnandomi il dominio $T$ osservo che la funzione fa $0$ per $(0,e/2)$ e $(e/2,0)$. Mi rimane da capire cosa avviene nella frontiera che è rappresentata dalla quarta parte del cerchio di raggio $e/2$ definita in $x>=0, y>=0$.
Per capire cosa avviene in quella frontiera devo sostituire a $x =cost$ e a $y = sent$?
Ammesso che il mio ragionamento sia corretto.
Grazie
Emanuele
Risposte
"emanuele78":
Per il primo punto noto che la funzione è sempre definita.
Purtroppo non basta.
"speculor":
[quote="emanuele78"]
Per il primo punto noto che la funzione è sempre definita.
Purtroppo non basta.[/quote]
Dalla definizione di continuità dovrei mostrare che per ogni $x_0$ il limite di $x->x_0$ di $f(x) = f(x_0)$ e dovrei farlo per ogni punto. Quindi mi studio l'unico punto critico probabile che è dato nei casi in cui $xy=0$ per cui la funzione logaritmo non ammette limite finito, che si ha per $x=0$ oppure $y=0$ o entrambi. In ogni caso il limite da come risultato $0$ e quindi è continua.
"emanuele78":
In ogni caso il limite da come risultato $0$ e quindi è continua.
Giusto, ma come lo giustifichi? Ricordati che i limiti in due variabili sono più complessi da gestire.
beh lo giustifico perchè quella particolare funzione diventa $0$ quando $xy=0$ e pertanto non ha punti di discontinuità.
Ho visto un pò di esempi sulla continuità di funzioni in due e più variabili, mi sembra di capire che metodi univoci non c'è ne siano. Chiaro che nel caso di più variabili la situazione si complica e per esempio ho visto che in taluni casi si utilizzano le coordinate polari per capire se la funzione è continua. Ma tra gli esempi ho visto anche che un approccio è simile a quello da me adottato si vede qual'è il probabile punto critico e si vede se esiste il limite finito per $(x_0, y_0)$ che tendono ad un certo valore.
Per quanto riguarda invece il trovare i minimi e i massimi assoluti nel dominio $T$, le mie considerazioni ti sembrano corrette?
Grazie dei consigli.
Emanuele
Ho visto un pò di esempi sulla continuità di funzioni in due e più variabili, mi sembra di capire che metodi univoci non c'è ne siano. Chiaro che nel caso di più variabili la situazione si complica e per esempio ho visto che in taluni casi si utilizzano le coordinate polari per capire se la funzione è continua. Ma tra gli esempi ho visto anche che un approccio è simile a quello da me adottato si vede qual'è il probabile punto critico e si vede se esiste il limite finito per $(x_0, y_0)$ che tendono ad un certo valore.
Per quanto riguarda invece il trovare i minimi e i massimi assoluti nel dominio $T$, le mie considerazioni ti sembrano corrette?
Grazie dei consigli.
Emanuele
Sia per la continuità che per lo studio dei max e min puoi tenere conto del fatto che
\( f(x,y) = g(h(x,y)) \), con $h(x,y) = xy$ e \( g(t) = t \log |t|\) se $t\ne 0$, $g(0) = 0$.
\( f(x,y) = g(h(x,y)) \), con $h(x,y) = xy$ e \( g(t) = t \log |t|\) se $t\ne 0$, $g(0) = 0$.
In merito alla continuità forse dovrei aggiungere che la funzione è continua perchè $xy*log|xy|$ converge a zero per $xy ->0$ essendo che $xy$ è un infinitesimo di ordine superiore a $log|xy|$ pertanto basta porre che $f(x,y) =0$ se $xy =0$ che ottengo la continuità.
Diversamente se avessi avuto due infinitesimi dello stesso ordine credo che la funzione non sarebbe stata continua lo stesso.
Diversamente se avessi avuto due infinitesimi dello stesso ordine credo che la funzione non sarebbe stata continua lo stesso.
"Rigel":
Sia per la continuità che per lo studio dei max e min puoi tenere conto del fatto che
\( f(x,y) = g(h(x,y)) \), con $h(x,y) = xy$ e \( g(t) = t \log |t|\) se $t\ne 0$, $g(0) = 0$.
Grazie dell'osservazione, devo dire che avevo notato anche io questa particolare forma, tuttavia nel mio libro mi spiega come applicarla alla ricerca di massimi e minimi relativi e non assoluti.
In ogni caso prendo spunto e osservo che se faccio la derivata prima della funzione, essa è crescente per $t>1/e$, mentre è decrescente tra $0$ e $1/e$ e quindi dovrei avere un punto di minimo assoluto in corrispondenza di $(x_0,y_0)={(x,y) in R^2 : xy=1/e}$, ora poichè il mio dominio $T$ si trova nella zona per cui $t$ è sempre maggiore di $0$, mi rimane da capire se esiste un punto di massimo.
Intuitivamente osservando che la funzione è crescente per $xy>1/e$ , deduco che rispetto al dominio $T$ dovrei trovarmi un punto di massimo assoluto, esattamente nel punto di intersezione tra la bisettrice del 1° e 2° quadrante e la circonferenza di raggio $e/2$. Effettuando i calcoli quindi trovo che un punto di massimo assoluto è $(x_0;y_0) = (sqrt(e/4), sqrt(e/4))$.
Studiandomi la frontiera rispetto ad altri punti del quarto di circonferenza, effettivamente noto come il punto trovato sia di massimo assoluto rispetto a $T$.
In ogni caso chiedo conferma.
Grazie ancora.
Emanuele
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo