Studio di funzione logaritmica in due variabili
Salve a tutti ho il seguente esercizio, vorrei capire con voi se e dove faccio errori.
Dopo aver determinato l'insieme $X$ di esistenza della funzione:
$f(x,y) = log(x^2 +y^2-2x-2y+2)$
trovare:
i) l'insieme degli zeri di $f$;
ii) il sottinsieme di $X$ dove $f$ è positiva(negativa);
iii) gli estremi superiore ed inferiore di $f$;
iv) gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi di $f$;
v) i punti di massimo e di minimo assoluti della restrizione di $f$ all'insieme $Y ={(x,y) in R^2 :0<=x<=1; 0<=y<=1-(2x-x^2)^(1/2)}$.
Soluzione
L'insieme di definizione di $f(x,y)$ dovrebbe essere $X={(x,y) in R^2-1}$
$i$ La funzione logaritmo interseca gli assi quando il suo argomento vale $1$ e pertanto risulta che ciò è vero se $(x_0,y_0) ={(2,1) v(1,2)}$
$ii$ la funzione è positiva se $x^2 +y^2 -2x -2y +2>1$ $=>$ $x^2+y^2 -2x-2y>-1$ e ciò è vero per $D={(x,y):(x>2,y>=1)v(x>=1,y>2)}$
$iii$ gli estremi superiori ed inferiore di $f$, ricordando la loro definizione, dovrebbero essere $-$ infinito e $+$ infinito non essendo limitata la funzione nel suo dominio $X$
Prima di andare avanti con gli altri punti vorrei sapere se ho sbagliato a dare queste risposte.
Grazie
Emanuele
Dopo aver determinato l'insieme $X$ di esistenza della funzione:
$f(x,y) = log(x^2 +y^2-2x-2y+2)$
trovare:
i) l'insieme degli zeri di $f$;
ii) il sottinsieme di $X$ dove $f$ è positiva(negativa);
iii) gli estremi superiore ed inferiore di $f$;
iv) gli eventuali punti di massimo e di minimo relativi di $f$;
v) i punti di massimo e di minimo assoluti della restrizione di $f$ all'insieme $Y ={(x,y) in R^2 :0<=x<=1; 0<=y<=1-(2x-x^2)^(1/2)}$.
Soluzione
L'insieme di definizione di $f(x,y)$ dovrebbe essere $X={(x,y) in R^2-1}$
$i$ La funzione logaritmo interseca gli assi quando il suo argomento vale $1$ e pertanto risulta che ciò è vero se $(x_0,y_0) ={(2,1) v(1,2)}$
$ii$ la funzione è positiva se $x^2 +y^2 -2x -2y +2>1$ $=>$ $x^2+y^2 -2x-2y>-1$ e ciò è vero per $D={(x,y):(x>2,y>=1)v(x>=1,y>2)}$
$iii$ gli estremi superiori ed inferiore di $f$, ricordando la loro definizione, dovrebbero essere $-$ infinito e $+$ infinito non essendo limitata la funzione nel suo dominio $X$
Prima di andare avanti con gli altri punti vorrei sapere se ho sbagliato a dare queste risposte.
Grazie
Emanuele
Risposte
Ho guardato le prime due risposte.
La prima:
La seconda è sbagliata: $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ è soddisfatta da infiniti punti, non da due soli.
La prima:
"emanuele78":Non ha senso: $1$ non sta in $RR^2$. Sicuramente volevi scrivere $X={(x,y) in RR^2 \\ (1,1)}$
L'insieme di definizione di $f(x,y)$ dovrebbe essere $X={(x,y) in RR^2 \\ 1}$
La seconda è sbagliata: $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ è soddisfatta da infiniti punti, non da due soli.
"Gi8":Non ha senso: $1$ non sta in $RR^2$. Sicuramente volevi scrivere $X={(x,y) in RR^2 \\ (1,1)}$
Ho guardato le prime due risposte.
La prima:[quote="emanuele78"]L'insieme di definizione di $f(x,y)$ dovrebbe essere $X={(x,y) in RR^2 \\ 1}$
La seconda è sbagliata: $(x-1)^2+(y-1)^2=1$ è soddisfatta da infiniti punti, non da due soli.
[/quote]Nella prima hai ragione volevo scrivere per $R^2-(1,1)$.
ok il 2° punto è chiaro.
Grazie
riprendo questo esercizio che stavo completando e su cui vorrei avere un vostro parere.
Calcolandomi le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$ e ponendoli uguali a zero, trovo che il punto critico è $(x,y) =(1,1)$, ora poichè l'insieme di definizione esclude questo punto posso concludere che non esistono punti di massimo e minimo relativi?
Per quanto riguarda invece la ricerca dei massimi e minimi assoluti, nel mio libro di esercizi non ho sufficienti esempi e quelli che ci sono sono tutti un pò banali rispetto alla situazione che mi si sta presentando, pertanto mi sono andato a riguardare alcuni vecchi thread su questo argomento in questo forum.
Da quello che sappiamo il punto critico trovato non appartiene all'insieme di definizione, inoltre disegnandomi l'area del dominio $Y$ osservo che lo stesso è fuori da quell'area, pertanto è inservibile comunque.
Allora devo ragionare di come si comporta la funzione $f(x,y)$ sulla frontiera del dominio compresi i punti di intersezione.
Da alcuni esempi ho visto che si procede alla parametrizzazione della frontiera e si studia la funzione in una variabile che si ottiene. Se ho capito bene otterrei 3 parametrizzazioni:
1) $f(0,t) t in [0,1]$
2) $f(t,0) t in [0,1]$
3) $f(t,1-(2t-t^2)^(1/2)) t in [0,1]$
la prima è $f(0,t) = log(t^2-2t+2)$ che per $t=0$ si ha $log(2)$ mentre per $t=1$ si ha $log(1)$
stesso discorso si ha per $f(t,0)$
mentre per $f(t,1-(2t-t^2)^(1/2)) = log(t^2 +(1-(2t-t^2)^(1/2))-2t-2(1-(2t-t^2)^(1/2)) +2)$ che per $t=0$ si ha $log(1)$ mentre per $t=1$ si ha $log(0)$ che è meno infinito. (questo meno infinito un pò mi inganna, nel senso che non so come valutarlo correttamente, semprerebbe il minimo della funzione ad 1 variabile)
Da tutto ciò dedurrei che per $t=0$ in corrispondenza di $(x,y) =(0,0)$ ottengo un massimo assoluto pari a $log(2)$ mentre per $t=1$ otterrei un minimo che è $log(1)$ per $(x,y) =(0,1) =(1,0)$.
Vi ringrazio di un vostro parere sarà molto apprezzato visto l'approssimarsi dell'esame. Se ho detto troppe castronerie perdonatemi ma non so dove cercare spiegazioni esaustive, sembra quello dei massimi e minimi un argomento con mille sfaccettature.
emanuele78
Calcolandomi le derivate parziali rispetto a $x$ e $y$ e ponendoli uguali a zero, trovo che il punto critico è $(x,y) =(1,1)$, ora poichè l'insieme di definizione esclude questo punto posso concludere che non esistono punti di massimo e minimo relativi?
Per quanto riguarda invece la ricerca dei massimi e minimi assoluti, nel mio libro di esercizi non ho sufficienti esempi e quelli che ci sono sono tutti un pò banali rispetto alla situazione che mi si sta presentando, pertanto mi sono andato a riguardare alcuni vecchi thread su questo argomento in questo forum.
Da quello che sappiamo il punto critico trovato non appartiene all'insieme di definizione, inoltre disegnandomi l'area del dominio $Y$ osservo che lo stesso è fuori da quell'area, pertanto è inservibile comunque.
Allora devo ragionare di come si comporta la funzione $f(x,y)$ sulla frontiera del dominio compresi i punti di intersezione.
Da alcuni esempi ho visto che si procede alla parametrizzazione della frontiera e si studia la funzione in una variabile che si ottiene. Se ho capito bene otterrei 3 parametrizzazioni:
1) $f(0,t) t in [0,1]$
2) $f(t,0) t in [0,1]$
3) $f(t,1-(2t-t^2)^(1/2)) t in [0,1]$
la prima è $f(0,t) = log(t^2-2t+2)$ che per $t=0$ si ha $log(2)$ mentre per $t=1$ si ha $log(1)$
stesso discorso si ha per $f(t,0)$
mentre per $f(t,1-(2t-t^2)^(1/2)) = log(t^2 +(1-(2t-t^2)^(1/2))-2t-2(1-(2t-t^2)^(1/2)) +2)$ che per $t=0$ si ha $log(1)$ mentre per $t=1$ si ha $log(0)$ che è meno infinito. (questo meno infinito un pò mi inganna, nel senso che non so come valutarlo correttamente, semprerebbe il minimo della funzione ad 1 variabile)
Da tutto ciò dedurrei che per $t=0$ in corrispondenza di $(x,y) =(0,0)$ ottengo un massimo assoluto pari a $log(2)$ mentre per $t=1$ otterrei un minimo che è $log(1)$ per $(x,y) =(0,1) =(1,0)$.
Vi ringrazio di un vostro parere sarà molto apprezzato visto l'approssimarsi dell'esame. Se ho detto troppe castronerie perdonatemi ma non so dove cercare spiegazioni esaustive, sembra quello dei massimi e minimi un argomento con mille sfaccettature.
emanuele78
salve a tutti riesumo questo esercizio, infatti lo stavo riaffrontando non avendolo concluso la volta precedente e chiedo a voi conferma dei risultati a cui sono giunto.
In particolare stavo affrontando gli ultimi tre quesiti.
per quanto riguarda gli estremi inferiore e superiore la funzione in due variabili varia da $-infty$ a $+infty$.
per quanto riguarda i minimi e massimi relativi osservo che il punto critico $(1,1)$ non appartiene al dominio, pertanto la funzione non dovrebbe possedere ne minimi ne massimi relativi.
per quanto riguarda i minimi e massimi relativi, sostanzialmente mi ritrovo nella spiegazione sopra che mi sembra corretta anche da un punto di vista grafico avendo rappresentato la funzione, e quindi che $(0,0)$ è un punto di massimo assoluto in $Y$ mentre i punti che stanno nella funzione $y = 1 - sqrt(2x-x^2)^(1/2)$ dovrebbero essere punti di minimo assoluto.
Grazie degli eventuali suggerimenti
In particolare stavo affrontando gli ultimi tre quesiti.
per quanto riguarda gli estremi inferiore e superiore la funzione in due variabili varia da $-infty$ a $+infty$.
per quanto riguarda i minimi e massimi relativi osservo che il punto critico $(1,1)$ non appartiene al dominio, pertanto la funzione non dovrebbe possedere ne minimi ne massimi relativi.
per quanto riguarda i minimi e massimi relativi, sostanzialmente mi ritrovo nella spiegazione sopra che mi sembra corretta anche da un punto di vista grafico avendo rappresentato la funzione, e quindi che $(0,0)$ è un punto di massimo assoluto in $Y$ mentre i punti che stanno nella funzione $y = 1 - sqrt(2x-x^2)^(1/2)$ dovrebbero essere punti di minimo assoluto.
Grazie degli eventuali suggerimenti
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