Studio di funzione irrazionale fratta
salve ragazzi, ho dei dubbi sullo studio del grafico della seguente funzione:
$ y= (x+1)/sqrt (x^2+x-2 $
ho inizialmente calcolato il dominio della funzione ponendo $ sqrt(x^2+x-2) != 0 $ e il radicando $ x^2+x+2>0 $ ottenendo $ x<-2, x> 1 $ con $ x!= -2 $ e $ x != 1$.
Per quanto riguarda le simmetrie, svolgendo i calcoli in f(-x) la funzione non risulta nè pari nè dispari, almeno a mio avviso
..
INTERSEZIONI ASSI(coordinate) :asse X $ (-1;0) $ asse y $(0; 1/2 )$
SEGNO FUNZIONE: ho imposto la condizione $ (x+1)/(sqrt (x^2-x+2)) > 0$ ottenendo che è positiva per $x>1$ e per ogni x appartenente al dominio per quanto riguarda il denominatore.
COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI: ho calcolato i $ lim x to -2$ e $ lim xto 1 $ dando entrambi come risultato infinito.. quindi $x=1$ e $x=-2$ sono ASINTOTI VERTICALI. ho poi calcolato i limiti per x -> infinito trovando l'ASINTOTO ORIZZONTALE in $ y= 1 $
DERIVATA PRIMA: $ f'(x)= (1 (sqrt (x^2+x-2))- (x+1)((2x+1)/(2sqrt(x^2+x-2))))/(sqrt(x^2+x-2))^2 $ in questo punto sono rimasta bloccata e non so come procedere per vedere i punti in cui la derivata si annulla ed è positiva/negativa.. potreste aiutarmi ? E' giusto ciò che ho fatto fin qui? grazie in anticipo a chi risponderà ...
$ y= (x+1)/sqrt (x^2+x-2 $
ho inizialmente calcolato il dominio della funzione ponendo $ sqrt(x^2+x-2) != 0 $ e il radicando $ x^2+x+2>0 $ ottenendo $ x<-2, x> 1 $ con $ x!= -2 $ e $ x != 1$.
Per quanto riguarda le simmetrie, svolgendo i calcoli in f(-x) la funzione non risulta nè pari nè dispari, almeno a mio avviso
..INTERSEZIONI ASSI(coordinate) :asse X $ (-1;0) $ asse y $(0; 1/2 )$
SEGNO FUNZIONE: ho imposto la condizione $ (x+1)/(sqrt (x^2-x+2)) > 0$ ottenendo che è positiva per $x>1$ e per ogni x appartenente al dominio per quanto riguarda il denominatore.
COMPORTAMENTO AGLI ESTREMI: ho calcolato i $ lim x to -2$ e $ lim xto 1 $ dando entrambi come risultato infinito.. quindi $x=1$ e $x=-2$ sono ASINTOTI VERTICALI. ho poi calcolato i limiti per x -> infinito trovando l'ASINTOTO ORIZZONTALE in $ y= 1 $
DERIVATA PRIMA: $ f'(x)= (1 (sqrt (x^2+x-2))- (x+1)((2x+1)/(2sqrt(x^2+x-2))))/(sqrt(x^2+x-2))^2 $ in questo punto sono rimasta bloccata e non so come procedere per vedere i punti in cui la derivata si annulla ed è positiva/negativa.. potreste aiutarmi ? E' giusto ciò che ho fatto fin qui? grazie in anticipo a chi risponderà ...
Risposte
Per quanto riguarda le intersezioni con gli assi, il grafico con può incontrare l'asse y vsto che il dominio è $ (-infty,-2)uu(1,+infty) $ )infatti per $ x=0 $ ho $ -2 $ soto radice).
Nello studio della derivata prima invece basta fare qualche calcolo in più per avere un'espressione più maneggevole...
Dovresti ottenere $ ((2(sqrt(x^2+x-2))^2-(x+1)(2x+1))/(2sqrt(x^2+x-2)))/(sqrt(x^2+x-2))^2 $ che nel dominio diventa $ (2(x^2+x-2)-(x+1)(2x+1))/(2(x^2+x-2)sqrt(x^2+x-2))=(-x-5)/(2(x^2+x-2)sqrt(x^2+x-2)) $ ...
Nello studio della derivata prima invece basta fare qualche calcolo in più per avere un'espressione più maneggevole...
Dovresti ottenere $ ((2(sqrt(x^2+x-2))^2-(x+1)(2x+1))/(2sqrt(x^2+x-2)))/(sqrt(x^2+x-2))^2 $ che nel dominio diventa $ (2(x^2+x-2)-(x+1)(2x+1))/(2(x^2+x-2)sqrt(x^2+x-2))=(-x-5)/(2(x^2+x-2)sqrt(x^2+x-2)) $ ...
ecco... trovo proprio difficoltà in questo passaggio.. non riesco a capire come ottineni il demominatore: $ 2 (x^2+x-2)sqrt (x^2+x+2) $ .. hai fatto il m.c.d?
"giuliacat95":
non riesco a capire come ottineni il demominatore
Osserva che $(a/b)/c=a/(bc)$ e nel nostro caso particolare si ha al denominatore $ 2 (x^2+x-2)sqrt (x^2+x+2)= 2(x^2+x-2)^(1+1/2)=2(x^2+x-2)^(3/2) $
grazie mille di nuovo.. quante cose si imparano su questo forum 
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