STUDIO DI FUNZIONE+ INVERSA

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti,
sono alle prese con lo studio di funzione ( solo campo di esistenza...)
qualcuno conosce un ottimo link con le regole per i campi di esistenza???
Esempio...
l'argomento dei logaritmi deve essere > di 0
quello sotto radice >= 0.....
e altre regole....
Inoltre...Come si calcola l'inversa di una funzione???
esiste una regola..???
grazie mille

[fireball1]

Per calcolare l'inversa di una funzione del tipo y=f(x), si cerca di esplicitare
la x rispetto alla y e poi si scambia x con y.
Ecco un esempio banale:

y=log x

esplicitando la x si ottiene:

x=e^y (questa si chiama inversa del primo tipo)

e scambiando x con y

y=e^x (inversa del secondo tipo, che è quella che ti interessa)

Il discorso sulle funzioni inverse non è semplice. Per esempio, ci sono alcune
funzioni particolari, come seno e coseno, che non possono essere invertite in tutto
il loro dominio. Per disegnare il grafico di una funzione inversa, devi cercare il dominio di invertibilità della funzione di partenza, cioè quell'insieme di valori
che rendono la funzione biunivoca (ad ogni valore di x deve corrispondere
uno e un solo valore della y e viceversa). Vogliamo ad esempio calcolare l'inversa di y=sin x. Si trova subito che essa è y=arcsin x, ma il grafico di y=arcsin x non è una sinusoide che si trova lungo l'asse y, come si potrebbe pensare, bensì un arco di sinusoide di lunghezza pari a . Il dominio di invertibilità del seno è infatti (-/2 ; /2) perché solo in questo modo possiamo ottenere una corrispondenza biunivoca. Spero di essere stato chiaro.


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Per calcolare il dominio di una funzione, devi ricordarti ciò che hai detto tu e anche
che quando la funzione è fratta, il denominatore dev'essere 0 e che quando la
funzione è esponenziale, la base dev'essere sempre > 0.

Un esempio:

        sqrt(3-2x) 

y = (x-1)

In questo caso vedi che all'esponente c'è una radice di indice pari e sai che la base,
in una funzione esponenziale, dev'essere sempre > 0.
Ti ricordo che quando la radice è di indice dispari, il radicando può assumere qualsiasi valore.

Il dominio si calcola allora con il seguente sistema di disequazioni:

{3-2x>=0
{x-1>0

{2x<=3 , x<=3/2
{x>1

Facendo un grafichetto per vedere dove le tre condizioni si verificano contemporaneamente, si trova che il risultato del sistema è 1 < x <= 3/2. Il dominio
è allora D:{x|x € R , 1 < x <= 3/2}

Chiaro?

Modificato da - fireball il 14/03/2004 11:51:17

[Principe2]

scusa fire ma temo di doverti correggere un paio di cose... perdonami:

citazione:

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...una corrispondenza biunivoca (ad ogni valore di x, corrisponde uno e un solo valore della y).

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in realtà quella che hai messo tra parentesi è la definizione di funzione in generale e non quella di f.biunivoca, che recita così: una funzione è detta biunivoca (o biiettiva) se è iniettiva e suriettiva, ovvero se ad ogni valore della variabile x si associa uno ed un solo valore della variabile y e, viceversa, ad ogni valore della variabile y corrisponde uno ed un solo valore della variabile x.

l'altra cosa:

citazione:

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la base, in una funzione esponenziale, dev'essere sempre > 0 e 1.

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perchè diverso da 1?
se la base è uguale ad 1 l'esponenziale si riduce alla retta y=1; che è sicuramente una funzione, la quale però non è invertibile, ed è per questo che il logaritmo non accetta la base 1, perchè ce la perdiamo per strada nell'invertire l'esponenziale.

ciao, ubermensch

[fireball1]

Per ubermensch.
Prima correzione: ok, d'accordo, mi sono ingarbugliato! Quello che intendevo dire è semplicemente che una funzione può essere invertita solo se biunivoca.
Seconda correzione: hai ragione: mi sono confuso con i logaritmi! Pensa che quel 1 l'ho aggiunto dopo, durante la modifica del post, pensando che avevo sbagliato! Invece avevo fatto bene prima...

Correggo tutto subito.

Modificato da - fireball il 14/03/2004 11:43:42