Studio di funzione integrale di due variabili
Buongiorno.
Mi è stato sottoposto il seguente esercizio:
Dimostrare che la funzione f definita da: \( f(t)=\int_{0}^{t^2} arctan(tx^2)\, dx \) ammette punto di flesso in 0.
Ora, premettendo che non ho molta dimestichezza con questo tipo di integrali, seguendo la formula per la derivazione e osservando che tutte le funzioni sono \( C^\infty \), ho ottenuto, sperando di non aver fatto errori:
\( f'(t)=arctan(t^4)\cdot 2t + \int_{0}^{t^2} {{x^2}\over{1+(tx^2)^2}}\, dx \) , che effettivamente si annulla in 0.
\( f''(t)=2\cdot arctan(t^4) + {{8t^4}\over{t^8+1}} + {{t^2}\over{t^8+1}} + \int_{0}^{t^2} -{{2tx^6}\over{(t^2x^4+1)^2}}\, dx \) , che effettivamente si annulla in 0.
Il problema è: so che così è soddisfatta la condizione necessaria per un punto di flesso, ma per concludere dovrei anche dimostrare che la derivata seconda cambia segno in un intorno di 0.
Tutti gli addendi sono sempre positivi essendovi la \( t \) con potenze pari, tranne l'integrale in cui l'integranda potrebbe effettivamente cambiare segno... Ok, ma per dimostrarlo formalmente?
Grazie in anticipo per i preziosi suggerimenti.
Mi è stato sottoposto il seguente esercizio:
Dimostrare che la funzione f definita da: \( f(t)=\int_{0}^{t^2} arctan(tx^2)\, dx \) ammette punto di flesso in 0.
Ora, premettendo che non ho molta dimestichezza con questo tipo di integrali, seguendo la formula per la derivazione e osservando che tutte le funzioni sono \( C^\infty \), ho ottenuto, sperando di non aver fatto errori:
\( f'(t)=arctan(t^4)\cdot 2t + \int_{0}^{t^2} {{x^2}\over{1+(tx^2)^2}}\, dx \) , che effettivamente si annulla in 0.
\( f''(t)=2\cdot arctan(t^4) + {{8t^4}\over{t^8+1}} + {{t^2}\over{t^8+1}} + \int_{0}^{t^2} -{{2tx^6}\over{(t^2x^4+1)^2}}\, dx \) , che effettivamente si annulla in 0.
Il problema è: so che così è soddisfatta la condizione necessaria per un punto di flesso, ma per concludere dovrei anche dimostrare che la derivata seconda cambia segno in un intorno di 0.
Tutti gli addendi sono sempre positivi essendovi la \( t \) con potenze pari, tranne l'integrale in cui l'integranda potrebbe effettivamente cambiare segno... Ok, ma per dimostrarlo formalmente?
Grazie in anticipo per i preziosi suggerimenti.
Risposte
Puoi controllare la derivata terza.
Ciao ale311,
Premesso che la strada che ti ha già suggerito otta96 anche secondo me è quella che il tuo docente vorrebbe che tu seguissi, segnalo che quell'integrale in fondo è l'integrale dell'arcotangente, fattibile integrando per parti, anche se non senza calcoli...
Considerando l'integrale indefinito si ha:
$\int arctan(tx^2) \text{d}x = $
$ = x arctan(tx^2) + 1/(2 sqrt{2t})[ln(tx^2 + sqrt{2t}x + 1) - ln(tx^2 - sqrt{2t}x + 1) + 2 arctan(1 - sqrt{2t}x) + $
$ - 2 arctan(1 + sqrt{2t}x)] + c $
Pertanto in definitiva si ottiene:
$f(t) = \int_0^{t^2} arctan(tx^2) \text{d}x = t^2 arctan t^5 + 1/(2 sqrt{2t})[ln(t^5 + sqrt{2t}t^2 + 1) - ln(t^5 - sqrt{2t}t^2 + 1) + $
$ + 2 arctan(1 - sqrt{2t}t^2) - 2 arctan(1 + sqrt{2t}t^2)] $
Premesso che la strada che ti ha già suggerito otta96 anche secondo me è quella che il tuo docente vorrebbe che tu seguissi, segnalo che quell'integrale in fondo è l'integrale dell'arcotangente, fattibile integrando per parti, anche se non senza calcoli...
Considerando l'integrale indefinito si ha:
$\int arctan(tx^2) \text{d}x = $
$ = x arctan(tx^2) + 1/(2 sqrt{2t})[ln(tx^2 + sqrt{2t}x + 1) - ln(tx^2 - sqrt{2t}x + 1) + 2 arctan(1 - sqrt{2t}x) + $
$ - 2 arctan(1 + sqrt{2t}x)] + c $
Pertanto in definitiva si ottiene:
$f(t) = \int_0^{t^2} arctan(tx^2) \text{d}x = t^2 arctan t^5 + 1/(2 sqrt{2t})[ln(t^5 + sqrt{2t}t^2 + 1) - ln(t^5 - sqrt{2t}t^2 + 1) + $
$ + 2 arctan(1 - sqrt{2t}t^2) - 2 arctan(1 + sqrt{2t}t^2)] $
Grazie, come sempre gentilissimi!
Lo studio delle derivate successive alla seconda: tanto utile e carino quanto (da me) dimenticato!
In ogni caso, ho provato a calcolare la derivata terza, ma tanto per cambiare si annulla in 0: l'integrale portando l'estremo superiore a zero si annulla in ogni caso, le frazioni si annullano...
Da uno sguardo rapido, la derivata quarta forse è diversa da zero, ma in questo caso non ho un flesso!
Forse ho sbagliato qualche conto...
Grazie comunque, spero di risolvere ricalcolando le derivate!
Lo studio delle derivate successive alla seconda: tanto utile e carino quanto (da me) dimenticato!
In ogni caso, ho provato a calcolare la derivata terza, ma tanto per cambiare si annulla in 0: l'integrale portando l'estremo superiore a zero si annulla in ogni caso, le frazioni si annullano...
Da uno sguardo rapido, la derivata quarta forse è diversa da zero, ma in questo caso non ho un flesso!
Forse ho sbagliato qualche conto...
Grazie comunque, spero di risolvere ricalcolando le derivate!
Magari ho bevuto troppo ma...
\( f'(t)=arctan(t^5)\cdot 2t + \int_{0}^{t^2} {{x^2}\over{1+(tx^2)^2}}\, dx \)
\( f'(t)=arctan(t^5)\cdot 2t + \int_{0}^{t^2} {{x^2}\over{1+(tx^2)^2}}\, dx \)
"Bokonon":
Magari ho bevuto troppo ma...
Direi di no, ancora un po' ne reggi...
@ale311
In generale, posto
$ f(t) := \int_{a(t)}^{b(t)} i(x, t) \text{d}x $
si ha:
$ f'(t) = i(b(t)) \cdot \b'(t) - i(a(t)) \cdot a'(t) +\int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial i}{\partial t}(x, t) \text{d}x $
Dai un'occhiata anche all'ottimo post di gugo82 in questo thread.
Nel tuo caso $ f(t) = \int_{0}^{t^2} arctan(tx^2)\text{d}x $ e $a(t) = \text{costante} = 0 \implies a'(t) = 0 $, quindi la regola si semplifica nella seguente:
$ f'(t) = i(b(t)) \cdot \b'(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial i}{\partial t}(x, t) \text{d}x $
Osservando ancora che nel tuo caso $b(t) = t^2 \implies b'(t) = 2t $ si ha:
$ f'(t) = 2t arctan(t^5) + \int_0^{t^2} \frac{x^2}{1 + (tx^2)^2} \text{d}x $
che coincide con quanto ti ha già scritto Bokonon.
Bisognerebbe dire a Camillo di aggiungere le "funzioni integrali in più variabili", al suo thread di successo!
Magari l'ha già fatto, non ho controllato le 15 pagine di commenti
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 36&t=25340
PS: a gugo82, dissonance & Co: lo so, eh, che nihil novi sub sole. Però un cenno? Che io mi ricordi non mi ci sono mai imbattuto, e potrebbe essere che uno studente rimanga perplesso. O forse è davvero un evento troppo raro per prenderlo in considerazione?
Magari l'ha già fatto, non ho controllato le 15 pagine di commenti
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 36&t=25340
PS: a gugo82, dissonance & Co: lo so, eh, che nihil novi sub sole. Però un cenno? Che io mi ricordi non mi ci sono mai imbattuto, e potrebbe essere che uno studente rimanga perplesso. O forse è davvero un evento troppo raro per prenderlo in considerazione?
"Fioravante Patrone":
PS: a gugo82, dissonance & Co: lo so, eh, che nihil novi sub sole. Però un cenno? Che io mi ricordi non mi ci sono mai imbattuto, e potrebbe essere che uno studente rimanga perplesso. O forse è davvero un evento troppo raro per prenderlo in considerazione?
Scusa, FP, ma non ho capito la domanda...
"gugo82":
[quote="Fioravante Patrone"]PS: a gugo82, dissonance & Co: lo so, eh, che nihil novi sub sole. Però un cenno? Che io mi ricordi non mi ci sono mai imbattuto, e potrebbe essere che uno studente rimanga perplesso. O forse è davvero un evento troppo raro per prenderlo in considerazione?
Scusa, FP, ma non ho capito la domanda...
[/quote]Riformulo (come direbbero su wikipedia).
Facevo una considerazione, e cioè che sarebbe forse il caso di aggiungere un paragrafo al thread (e/o all'opuscoletto) dedicato allo studio della funzione integrale. Mi riferisco naturalmente al post di Camillo, quello che ha avuto un enorme successo (e mi sa che è pure un evergreen).
Però, allo stesso tempo, sono consapevole che non c'è nulla di essenzialmente nuovo nel considerare funzioni di più variabili definite usando in qualche modo "la funzione integrale". E se ne sono consapevole io, immagino che ancor più lo siate tu e dissonance (e chiunque mastichi per bene queste cosucce). Quindi mi immaginavo che qualcuno avrebbe potuto osservare che non vale la pena scrivere un paragrafo aggiuntivo.
Il che è vero, diciamo formalmente, ma forse uno studente potrebbe trovarsi un po' in imbarazzo la prima volta che si ritrova questo passaggio a "funzioni integrali" in più variabili.
Mi sono spiegato un po' meno peggio?
Ok, ora ho capito.
Mi spiace averti costretto a dilungarti.
In realtà si potrebbe pure buttar giù qualcosa... In questi giorni sono preso da impegni a scuola (sto scrivendo delle attività da far fare ai bimbi di prima "con le mani") e dalla bimba, ma appena riesco cerco di buttar giù qualcosa.
Mi spiace averti costretto a dilungarti.
In realtà si potrebbe pure buttar giù qualcosa... In questi giorni sono preso da impegni a scuola (sto scrivendo delle attività da far fare ai bimbi di prima "con le mani") e dalla bimba, ma appena riesco cerco di buttar giù qualcosa.
"pilloeffe":
In generale, posto
$ f(t) := \int_{a(t)}^{b(t)} i(x, t) \text{d}x $
si ha:
$ f'(t) = i(b(t)) \cdot \b'(t) - i(a(t)) \cdot a'(t) +\int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial i}{\partial t}(x, t) \text{d}x $
Dai un'occhiata anche all'ottimo post di gugo82 in questo thread.
Nel tuo caso $ f(t) = \int_{0}^{t^2} arctan(tx^2)\text{d}x $ e $a(t) = \text{costante} = 0 \implies a'(t) = 0 $, quindi la regola si semplifica nella seguente:
$ f'(t) = i(b(t)) \cdot \b'(t) + \int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial i}{\partial t}(x, t) \text{d}x $
Osservando ancora che nel tuo caso $b(t) = t^2 \implies b'(t) = 2t $ si ha:
$ f'(t) = 2t arctan(t^5) + \int_0^{t^2} \frac{x^2}{1 + (tx^2)^2} \text{d}x $
che coincide con quanto ti ha già scritto Bokonon.
Grazie mille a tutti e a @pilloeffe per questa spiegazione esauriente!
Sono alle prime armi con questi integrali e, mannaggia, devo aver fatto confusione con le variabili!
Quindi, se ben ho capito, quando derivo:
$ f'(t)=i(b(t))⋅b'(t)+ ... $, con $ i(b(t)) $ si intende $ i(b(t), t) $, quindi sostituisco la funzione dell'estremo di integrazione alla x per intenderci? Avevo fatto confusione qui...
Grazie ancora a tutti per gli interventi molto costruttivi!
Ciao Fioravante, mi fa sempre piacere quando ci reincontriamo qui, sa di rimpatriata. Hai ragione sul topic della funzione integrale, ma per il momento io ne resteró ben lontano! 
Quanto all'integrale in questione, non mi pare ci siano da calcolare derivate terze. Basta osservare che la derivata seconda é dispari...
Quanto all'integrale in questione, non mi pare ci siano da calcolare derivate terze. Basta osservare che la derivata seconda é dispari...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo