Studio di funzione integrale con integranda logaritmica
Salve a tutti,
vi propongo lo studio di una funzione integrale la cui funzione integranda è una espressione logaritmica
$ F(x) = \int\_{0}^\frac{1}{cosx}\frac{ln(1+t^2)}{t(1+t^2)}dt $
Salta subito all'occhio che la funzione integranda è dispari quindi quella integrale sarà simmetrica rispetto all'origine degli assi.
Punto singolare è lo zero per la funzione integranda, $ pi/2 + k pi $ per l'estremo superiore.
Ho difficoltà nell'individuare l'integrale tra $ 0 $ e $ 1/cos (pi/2 +kpi) $.C'è forse qualche sostituzione da fare per ricondursi a qualcosa di noto?
Un grazie a tutti
A.
vi propongo lo studio di una funzione integrale la cui funzione integranda è una espressione logaritmica
$ F(x) = \int\_{0}^\frac{1}{cosx}\frac{ln(1+t^2)}{t(1+t^2)}dt $
Salta subito all'occhio che la funzione integranda è dispari quindi quella integrale sarà simmetrica rispetto all'origine degli assi.
Punto singolare è lo zero per la funzione integranda, $ pi/2 + k pi $ per l'estremo superiore.
Ho difficoltà nell'individuare l'integrale tra $ 0 $ e $ 1/cos (pi/2 +kpi) $.C'è forse qualche sostituzione da fare per ricondursi a qualcosa di noto?
Un grazie a tutti
A.
Risposte
Ciao!
Questo è sbagliato, hai:
$$F(-x)=\int_0^{\frac{1}{\cos(-x)}} \frac{\log(1+t^2)}{t(1+t^2)} \text{d}t=\int_0^{\frac{1}{\cos x}} \frac{\log(1+t^2)}{t(1+t^2)} \text{d}t=F(x)$$
quindi la funzione integrale è pari, ossia simmetrica rispetto all'asse delle ordinate. Più nel concreto, ad esempio la funzione $g(t)=t$ è dispari in ogni intervallo simmetrico rispetto all'origine ma la sua funzione integrale $\int_0^x t \text{d}t=x^2/2$ è una parabola con vertice nell'origine (che non è simmetrica rispetto all'origine).
Che intendi con "individuare l'integrale"?
"Gandalf73":
Salta subito all'occhio che la funzione integranda è dispari quindi quella integrale sarà simmetrica rispetto all'origine degli assi.
Questo è sbagliato, hai:
$$F(-x)=\int_0^{\frac{1}{\cos(-x)}} \frac{\log(1+t^2)}{t(1+t^2)} \text{d}t=\int_0^{\frac{1}{\cos x}} \frac{\log(1+t^2)}{t(1+t^2)} \text{d}t=F(x)$$
quindi la funzione integrale è pari, ossia simmetrica rispetto all'asse delle ordinate. Più nel concreto, ad esempio la funzione $g(t)=t$ è dispari in ogni intervallo simmetrico rispetto all'origine ma la sua funzione integrale $\int_0^x t \text{d}t=x^2/2$ è una parabola con vertice nell'origine (che non è simmetrica rispetto all'origine).
Che intendi con "individuare l'integrale"?
Secondo Wolframalpha è riconducibile a una funzione polilogaritmica sfruttando questa formula.
Ma se volevi ricondurre solo l'integrale definito, parti da $x=\pi/2$, in cui semplicemente l'argomento va a $+\infty$, quindi devi calcolare $\int_0^(+\infty)ln(1+t^2)/(t(1+t^2))dt$.
Ma se volevi ricondurre solo l'integrale definito, parti da $x=\pi/2$, in cui semplicemente l'argomento va a $+\infty$, quindi devi calcolare $\int_0^(+\infty)ln(1+t^2)/(t(1+t^2))dt$.
Ciao Otta, sto cercando di capire come ci si arriva a quella relazione di cui hai postato il link.
Credo integrando per parti quasi certamente. Da lì dovrebbe emergere l'integrale conosciuto.
@Mephlip : hai ragione , errore mio di leggerezza avendo guardato la sola funzione integranda.
Resta comunque che non è facile studiarla perchè se uno la disegna con i tools numerici, contiene un asintoto orizzontale , due flessi ed un minimo che è zero. Posso pensare che il valore del'asintoto orizzontale sia l'integrale della funzione tra $0$ ed $ \infty $.
Credo integrando per parti quasi certamente. Da lì dovrebbe emergere l'integrale conosciuto.
@Mephlip : hai ragione , errore mio di leggerezza avendo guardato la sola funzione integranda.
Resta comunque che non è facile studiarla perchè se uno la disegna con i tools numerici, contiene un asintoto orizzontale , due flessi ed un minimo che è zero. Posso pensare che il valore del'asintoto orizzontale sia l'integrale della funzione tra $0$ ed $ \infty $.
Io trovo più semplice arrivarci per sostituzione.
Non ti seguo...che sostituisci nella funzione integranda?
Ho visto che
$\int_0^(+\infty)ln(1+t^2)/((1+t^2))dt$
si calcola con qualche passaggio. Desumo che integrando per parti...qualcosa dovrebbe uscire.
Per lo studio .....come la vedi?
Nel forum c'è un vademecum sulle funzioni integrali.
Chi l'ha scritto magari potrebbe integrarlo con questa......
Ho visto che
$\int_0^(+\infty)ln(1+t^2)/((1+t^2))dt$
si calcola con qualche passaggio. Desumo che integrando per parti...qualcosa dovrebbe uscire.
Per lo studio .....come la vedi?
Nel forum c'è un vademecum sulle funzioni integrali.
Chi l'ha scritto magari potrebbe integrarlo con questa......
Ad occhio (potrei sbagliarmi), non credo che la funzione integrale possa avere un asintoto orizzontale, perché essa è periodica.
Lasciando da parte questa cosa, come dobbiamo considerare l'esercizio? Se è "standard" (per intenderci da Analisi 1, senza l'ausilio di funzioni speciali), non devi calcolare l'integrale.
Per curiosità, il dominio di $F$ qual è?
Lasciando da parte questa cosa, come dobbiamo considerare l'esercizio? Se è "standard" (per intenderci da Analisi 1, senza l'ausilio di funzioni speciali), non devi calcolare l'integrale.
Per curiosità, il dominio di $F$ qual è?
Prova con $t^2=y$ 
@Mathita: fa parte di un vecchio appello che avevo in un compito di Analisi I. E sebbene oltre 20 anni fa, mi ricordo che il calcolo dell' $ L_i (x) $ fu fatto a lezione (ovviamente con variabile reale e non complessa).
Se è periodica ed oscillante quel valore venne usato per il calcolo del massimo.
@Otta : la sostituzione è da provare, ma poi $2tdt=dy$ dove finisce?
Se è periodica ed oscillante quel valore venne usato per il calcolo del massimo.
@Otta : la sostituzione è da provare, ma poi $2tdt=dy$ dove finisce?
"Gandalf73":
Ho visto che
$\int_0^{+\infty} ln(1+t^2)/(1+t^2)\text{d}t $
si calcola con qualche passaggio.
Attenzione che un conto è
$\int_0^{+\infty} ln(1+t^2)/(1+t^2)\text{d}t = \pi ln(2) $
un altro è
$\int_0^{+\infty} ln(1+t^2)/(t(1+t^2)) \text{d}t = \pi^2/12 $
"Gandalf73":
@Otta : la sostituzione è da provare, ma poi $2tdt=dy$ dove finisce?
Hai provato?
@pilloeffe: si ovviamente usavo l'uno per arrivare all'altro cercando la soluzione con l'integrazione per parti.
@Otta: non ho ancora sostituito se non a mente.Mi sembra però che con quella sostituzione ti trascini dietro il differenziale.
Tu hai raggiunto qualche traguardo?
@Otta: non ho ancora sostituito se non a mente.Mi sembra però che con quella sostituzione ti trascini dietro il differenziale.
Tu hai raggiunto qualche traguardo?
A occhio diventa ancora più chiaro l'uso di Li dopo aver scomposto in fratti semplici $1/(t(1+t^2))$
Un integrale è un $Li$ e l'altro è quasi immediato
Un integrale è un $Li$ e l'altro è quasi immediato
La funzione è $(tln(1+t^2))/(t^2(1+t^2))$....
"Gandalf73":
@Mathita: fa parte di un vecchio appello che avevo in un compito di Analisi I. E sebbene oltre 20 anni fa, mi ricordo che il calcolo dell' $ L_i (x) $ fu fatto a lezione (ovviamente con variabile reale e non complessa).
Sei sicuro? Non so che caspita di esame di Analisi I hai sostenuto, io la funzione polilogaritmica in Analisi I non l'ho vista neanche col binocolo e sono piuttosto certo che non l'abbia vista neanche mio fratello che pure seguiva il corso dei Matematici...
Comunque pervenire al risultato mostrato da WolframAlpha che ti ha postato otta96 non è poi così complicato seguendo il suggerimento di Bokonon. Infatti scomponendo in fratti semplici si ha:
$ \int ln(1+t^2)/(t(1+t^2))\text{d}t = \int ln(1+t^2)/(t)\text{d}t - 1/2 \int (2t ln(1+t^2))/(1 + t^2)\text{d}t $
Il primo integrale si riconduce a $ -1/2 \text{Li}_2(- t^2) $, mentre il secondo è quasi immediato essendo del tipo
$\int f(t) f'(t) \text{d}t = [f(t)]^{n + 1}/(n + 1) + c $
con $n = 1 $ e $f(t) = ln(1 + t^2) $. Perciò in effetti si ha proprio
$ \int ln(1+t^2)/(t(1+t^2))\text{d}t = -1/2 \text{Li}_2(- t^2) - 1/4 log^2(1 + t^2) + c $
Casomai un po' più complicato è capire che
$\lim_{t \to +\infty} [- (\text{Li}_2(-t^2))/2 - 1/4 log^2(1 + t^2)] = \pi^2/12 $
Da cui
$ \int_0^(+\infty)ln(1+t^2)/(t(1+t^2))\text{d}t = [- (\text{Li}_2(-t^2))/2 - 1/4 log^2(1 + t^2)]_0^{+\infty} = \pi^2/12 $
@pilloeffe: non mi è abbastanza chiaro come avviene il passaggio
$\int ln(1+t^2)/(t)\text{d}t$ = $-1/2 \text{Li}_2(- t^2) $, assumendo come $ \text{Li}_2(t) =-\int ln(1-t)/(t) $
(e non sono riuscito manco a scovarlo on line , per lo meno non riesco ancora).
Il calcolo del limite potrebbe invece presentare qualche difficoltà rispetto al secondo termine (esatto per così dire) valutato tra $ 0 $ e $ \+infty $
Quindi :
1 - la funzione integrale è periodica,simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.
2 - In $ pi/2 $+ $ kpi $, vale $ pi^2/12 $
Il resto dello studio credo si deduca effettuando la derivata prima.
Il valore in 0 (lo start dell' esercizio diciamo) è l'integrale tra $ 0 $ ed $ 1 $
$\int ln(1+t^2)/(t)\text{d}t$ = $-1/2 \text{Li}_2(- t^2) $, assumendo come $ \text{Li}_2(t) =-\int ln(1-t)/(t) $
(e non sono riuscito manco a scovarlo on line , per lo meno non riesco ancora
).Il calcolo del limite potrebbe invece presentare qualche difficoltà rispetto al secondo termine (esatto per così dire) valutato tra $ 0 $ e $ \+infty $
Quindi :
1 - la funzione integrale è periodica,simmetrica rispetto all'asse delle ordinate.
2 - In $ pi/2 $+ $ kpi $, vale $ pi^2/12 $
Il resto dello studio credo si deduca effettuando la derivata prima.
Il valore in 0 (lo start dell' esercizio diciamo) è l'integrale tra $ 0 $ ed $ 1 $
Solo un'osservazione non richiesta. [ot]L'esercizio è carino, ma se devo essere sincero, l'uso della funzione speciale lo rende poco appetibile per un corso di AM1. In un certo senso si perde il motivo fondamentale per cui si propongono esercizi del genere: applicare la teoria per dedurre le caratteristiche analitiche della funzione.[/ot]
@Mathita:....un vecchissimo tema dei lontani anni 1980. Diciamo che il livello era assai alto come si può supporre anche dai programmi svolti.
Ho trovato comunque la soluzione dell'integrale.
E' fattibile ma assai dettagliato e alla soluzione si può giungere da diverse strade: dall'integrazione per serie alla manipolazione algebrica della legge che costituisce la funzione integranda.
I valori rilevati sono comunque del massimo e minimo della funzione integrale (vista la periodicità).
Si dovrebbe poi procedere con lo studio della derivata prima che con alcune considerazioni potrebbe mostrare la presenza dei flessi.
Mi sembra una buona palestra in quanto a funzioni integrali....
Ho trovato comunque la soluzione dell'integrale.
E' fattibile ma assai dettagliato e alla soluzione si può giungere da diverse strade: dall'integrazione per serie alla manipolazione algebrica della legge che costituisce la funzione integranda.
I valori rilevati sono comunque del massimo e minimo della funzione integrale (vista la periodicità).
Si dovrebbe poi procedere con lo studio della derivata prima che con alcune considerazioni potrebbe mostrare la presenza dei flessi.
Mi sembra una buona palestra in quanto a funzioni integrali....
"Gandalf73":
non mi è abbastanza chiaro come avviene il passaggio
$\int ln(1+t^2)/t \text{d}t = −1/2 \text{Li}_2(−t^2) $, assumendo come $\text{Li}_2(t)=− \int ln(1−t)/t $
(e non sono riuscito manco a scovarlo on line , per lo meno non riesco ancora
Perché avete la tendenza a non scrivere il differenziale nell'integrale come se fosse un optional, quando invece è fondamentale?
Si ha:
$\text{Li}_2(t)=−\int ln(1 − t)/t \text{d}t $
Posto $t := - u^2 \implies \text{d}t = - 2u \text{d}u $, per cui si ha:
$\text{Li}_2(-u^2) = −\int ln(1 + u^2)/(-u^2) (- 2u) \text{d}u = − 2 \int ln(1+ u^2)/u \text{d}u $
Dunque, come già scritto:
$ \int ln(1+ u^2)/u \text{d}u = - 1/2 \text{Li}_2(-u^2) $
In alternativa si può anche usare lo sviluppo in serie e poi integrare termine a termine:
$\int ln(1+t^2)/t \text{d}t = t^2/2 - t^4/8 + t^6/18 - t^8/32 +... = - 1/2 \sum_{n = 1}^{+\infty} (-t^2)^n/n^2 \stackrel{def}[=] - 1/2 \text{Li}_2(-t^2) $
@Pilloeffe: faccio ammenda,me lo sono perso per strada
Confermo poi che ci sono innumerevoli modi per arrivare all'obiettivo e con le conoscenze di analisi I (senza teorie dei residui etc etc) si perviene al risultato finale.
Aggiungo che lo studio della derivata prima risulta molto semplice:
si determina lo zero di essa ed i suoi max/min (che portano ai punti di max e min e di flesso della funzione integrale).
A conti fatti, mi sembra di esser giunto alla conclusione dell'analisi qualitativa della funzione $ F(x) $ .
(il grafico appare come una serie di montagne periodiche posizionate sopra l'asse delle ascisse le cui conche sono più "allargate" o almeno così mi sembra...)
Confermo poi che ci sono innumerevoli modi per arrivare all'obiettivo e con le conoscenze di analisi I (senza teorie dei residui etc etc) si perviene al risultato finale.
Aggiungo che lo studio della derivata prima risulta molto semplice:
si determina lo zero di essa ed i suoi max/min (che portano ai punti di max e min e di flesso della funzione integrale).
A conti fatti, mi sembra di esser giunto alla conclusione dell'analisi qualitativa della funzione $ F(x) $ .
(il grafico appare come una serie di montagne periodiche posizionate sopra l'asse delle ascisse le cui conche sono più "allargate" o almeno così mi sembra...)
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