Studio di Funzione integrale (Bicocca)
Ciao a tutti!
Sono nuovo del forum anche se vi seguo da anni!
Ho un enorme problema: lo studio di funzione integrale degli esami di Analisi I della facoltà di Matematica e Fisica dela Università di Milano-Bicocca.
In tutti i libri che ho consultato e in tutti i siti internet che ho visitato, non ho trovato nulla di simile alla tipologia che viene proposta qui in Bicocca agli studenti di matematica e fisica. In questi giorni mi sto facendo aiutare da una tutor di matematica della Bicocca (laureata in Matematica), e nemmeno lei è in grado di risolvere questi esercizi!!
La domanda è: data la funzione integrale F(X) trovare: Dominio di F(X), limiti alla frontiera, eventuali asintoti, derivata prima, crescere e decrescere, eventuali estremanti e punti di non derivabilità, derivata seconda, eventuali flessi e convessità e disegnare il grafico. Conosco le procedure (so che per i limiti alla frontiera devo cercare il lim x->x0 F(x) con x0 punti estremi del domini, etc...).
Se fossero studi di funzione integrale "classici" non avrei troppi problemi, ma con questi, appena dopo che trovo il dominio, mi blocco e non riesco più a procedere!
Sono disperato! Anche perchè questo esercizio vale ben 1/3 dell'esame totale!
Ve ne posto un paio a titolo di esempio, qualcuno è in grado di risolverli e dirmi esattamente come si fanno? Non so più dove sbattere la testa!
Help!!!
Sono nuovo del forum anche se vi seguo da anni!
Ho un enorme problema: lo studio di funzione integrale degli esami di Analisi I della facoltà di Matematica e Fisica dela Università di Milano-Bicocca.
In tutti i libri che ho consultato e in tutti i siti internet che ho visitato, non ho trovato nulla di simile alla tipologia che viene proposta qui in Bicocca agli studenti di matematica e fisica. In questi giorni mi sto facendo aiutare da una tutor di matematica della Bicocca (laureata in Matematica), e nemmeno lei è in grado di risolvere questi esercizi!!
La domanda è: data la funzione integrale F(X) trovare: Dominio di F(X), limiti alla frontiera, eventuali asintoti, derivata prima, crescere e decrescere, eventuali estremanti e punti di non derivabilità, derivata seconda, eventuali flessi e convessità e disegnare il grafico. Conosco le procedure (so che per i limiti alla frontiera devo cercare il lim x->x0 F(x) con x0 punti estremi del domini, etc...).
Se fossero studi di funzione integrale "classici" non avrei troppi problemi, ma con questi, appena dopo che trovo il dominio, mi blocco e non riesco più a procedere!
Sono disperato! Anche perchè questo esercizio vale ben 1/3 dell'esame totale!
Ve ne posto un paio a titolo di esempio, qualcuno è in grado di risolverli e dirmi esattamente come si fanno? Non so più dove sbattere la testa!
Click sull'immagine per visualizzare l'originale
Help!!!
Risposte
"gugo82":
C'è un'utile dispensina scritta da Camillo e magliocurioso, scaricabile da qui.
Dacci uno sguardo!
Si, l'ho già letta tutta, ma anche se provo a seguire quella guida, non riesco a risolvere i lim x->x0 F(x).
Forse, più che il problema di fare lo studio di funzione integrale, il punto è risolvere gli integrali indefiniti di prima/seconda specie nei punti degli estremi del dominio di F(X). Sono integrali indefiniti che non si risolvono, ma non so come affrontarli.
Guarda, la seconda è molto semplice.
Innanzitutto, osserva che l'integrando:
\[
f(x):=\frac{1}{x+1-\log |x|}
\]
è definito e continuo in $RR \setminus \{0,-1}$, nonché positivo in $]-1,0[UU ]0,+oo[$ e negativo in $]-oo,-1[$; inoltre esso si prolunga con continuità su $0$ ponendo$f(0)=0$, mentre in $-1$ è un infinito d'ordine $1$.
Ciò importa che la funzione integrale $F(x)$ è definita in \(\operatorname{Dom} F = ]-1,+\infty[\), ivi continua, derivabile, strettamente crescente; inoltre, $F$ è positiva in $]0,+oo[$, negativa in $]-1,0[$ e nulla in $0$.
Dato che:
\[
F^{\prime \prime} (x) = f^\prime (x) = f^2(x)\ \frac{1-x}{x}
\]
la $F$ risulta convessa in $[0,1]$ e concava in $]-1,0]$ ed in $[1,+oo[$; i punti di ascisse $0$ ed $1$ sono flessi per il diagramma di $F$, il primo a tangente orizzontale, il secondo a tangente obliqua.
Infine, il diagramma di $F$ è dotato di asintoto verticale di equazione $x=-1$ (a destra, in basso) e non è dotato di asintoto né orizzontale né obliquo in $+oo$.
La prima si risolve in modo simile.
Innanzitutto, osserva che l'integrando:
\[
f(x):=\frac{1}{x+1-\log |x|}
\]
è definito e continuo in $RR \setminus \{0,-1}$, nonché positivo in $]-1,0[UU ]0,+oo[$ e negativo in $]-oo,-1[$; inoltre esso si prolunga con continuità su $0$ ponendo$f(0)=0$, mentre in $-1$ è un infinito d'ordine $1$.
Ciò importa che la funzione integrale $F(x)$ è definita in \(\operatorname{Dom} F = ]-1,+\infty[\), ivi continua, derivabile, strettamente crescente; inoltre, $F$ è positiva in $]0,+oo[$, negativa in $]-1,0[$ e nulla in $0$.
Dato che:
\[
F^{\prime \prime} (x) = f^\prime (x) = f^2(x)\ \frac{1-x}{x}
\]
la $F$ risulta convessa in $[0,1]$ e concava in $]-1,0]$ ed in $[1,+oo[$; i punti di ascisse $0$ ed $1$ sono flessi per il diagramma di $F$, il primo a tangente orizzontale, il secondo a tangente obliqua.
Infine, il diagramma di $F$ è dotato di asintoto verticale di equazione $x=-1$ (a destra, in basso) e non è dotato di asintoto né orizzontale né obliquo in $+oo$.
La prima si risolve in modo simile.
Ti ringrazio perchè mi hai aiutato tantissimo laddove altre persone brancolavano nel buio più totale (laureati in matematica!). Senza di te sarei ancora totalmente perso!
Ho solo un paio di domande:
Se faccio:
\[
F^{\prime \prime} (x) = f^\prime (x) = 0
\]
Per cercare eventuali punti di flesso, trovo solo il punto 1, poichè ho $f^\prime (x)=0=>x-1=0$
Ma se ne studio il segno per capire la concavità e convessità, mi spunta fuori lo 0 esattamente come a te.
Dove sbaglio?
--
Qui non capisco come hai fatto a dire che $F$ abbia asintoto verticale in $x=-1$ e come si possa affermare che non esista l'asintoto orizzontale.
P.s. ci sono programmi che mi graficano una funzione integrale?
Ho solo un paio di domande:
"gugo82":
Guarda, la seconda è molto semplice.
la $F$ risulta convessa in $[0,1]$ e concava in $]-1,0]$ ed in $[1,+oo[$; i punti di ascisse $0$ ed $1$ sono flessi per il diagramma di $F$, il primo a tangente orizzontale, il secondo a tangente obliqua.
Se faccio:
\[
F^{\prime \prime} (x) = f^\prime (x) = 0
\]
Per cercare eventuali punti di flesso, trovo solo il punto 1, poichè ho $f^\prime (x)=0=>x-1=0$
Ma se ne studio il segno per capire la concavità e convessità, mi spunta fuori lo 0 esattamente come a te.
Dove sbaglio?
--
"gugo82":
Infine, il diagramma di $F$ è dotato di asintoto verticale di equazione $x=-1$ (a destra, in basso) e non è dotato di asintoto né orizzontale né obliquo in $+oo$.
Qui non capisco come hai fatto a dire che $F$ abbia asintoto verticale in $x=-1$ e come si possa affermare che non esista l'asintoto orizzontale.
P.s. ci sono programmi che mi graficano una funzione integrale?
Ci ho provato e riprovato. Non riesco a capire come si possa affermare che ci sia un asintoto verticale in -1 e non ci siano asintoti orizzontali! Devo usare stime asintotiche o confronti? Queste cose mi stanno mandando ai matti 
Basta ragionare su quanto già trovato.
Dato che l'integrando è non negativo nel dominio della funzione integrale, la $F$ è monotona; pertanto il $lim_(x->-1^+) F(x)$ esiste. Dato che l'integrale improprio non converge, il limite deve essere $oo$; dato che $F$ è crescente, l'unica alternativa valida è $-oo$.
Per quanto riguarda gli asintoti, quello orizzontale non ci può essere perché $f(x)>=1/(x+1)$ intorno a $+oo$; quello obliquo perché $lim_(x->+oo) (F(x))/x =0$ per il teorema di de l'Hôpital.
Dato che l'integrando è non negativo nel dominio della funzione integrale, la $F$ è monotona; pertanto il $lim_(x->-1^+) F(x)$ esiste. Dato che l'integrale improprio non converge, il limite deve essere $oo$; dato che $F$ è crescente, l'unica alternativa valida è $-oo$.
Per quanto riguarda gli asintoti, quello orizzontale non ci può essere perché $f(x)>=1/(x+1)$ intorno a $+oo$; quello obliquo perché $lim_(x->+oo) (F(x))/x =0$ per il teorema di de l'Hôpital.
Okay, ho capito cosa devo osservare e come devo pensare, ancora grazie!
Solo una cosa "tecnica": come facciamo ad affermare che l'integrale improprio non converge?
P.s. hai scritto $lim_(x->-1^-) F(x)$. Intendevi forse $lim_(x->-1^+) F(x)$ e quindi il limite deve essere $+oo$?
Solo una cosa "tecnica": come facciamo ad affermare che l'integrale improprio non converge?
P.s. hai scritto $lim_(x->-1^-) F(x)$. Intendevi forse $lim_(x->-1^+) F(x)$ e quindi il limite deve essere $+oo$?
"Tea-Rex":
Solo una cosa "tecnica": come facciamo ad affermare che l'integrale improprio non converge?
Sì capisce da qui:
"gugo82":
[la $f$] in $-1$ è un infinito d'ordine $1$.
"Tea-Rex":
P.s. hai scritto $lim_(x->-1^-) F(x)$. Intendevi forse $lim_(x->-1^+) F(x)$ e quindi il limite deve essere $+oo$?
Certo.
Ora correggo.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo