Studio di funzione integrale

[Kandrakar]

\( \int_0^x 1/(sqrt|t^2-1|)*(t-1)*(t+3)) \dt \)

A) Determinare il campo di definizione
B) Determinre l'insieme in cui la funzione è continua
C) Determinare l'insieme in cui la funzioe è derivabile
D) Disegnare il grafico

Soluzione:
A) Il dominio risulta essere (-3, 1)
B) Una funzione integrale è sempre continua su tutto il suo dominio, dunque è continua in (-3, 1)
C) Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, una funzione integrale F(X) è derivabile dove F'(X) è continua. Dunque in (-3, 1) U (-1, 1)
D) La funzione risulta sempre decrescente in (-3, 1), passa per (0, 0) e presenta un punto a tangente verticale in x=-1 (PERCHè?? Come trovo questo punto?)

Grazie

[gio73]

Ciao Kandrakar e benvenuto nel forum,
il tuo post non è ben leggibile: ho provato a modificare, va bene così?
$int_0^x 1/(sqrt(|t^2-1|))*(t-1)*(t+3) dt$
o è questa?
$int_0^x 1/((sqrt(|t^2-1|))*(t-1)*(t+3)) dt$

[Kandrakar]

La seconda! Grazie!

[Kandrakar]

"gio73":Ciao Kandrakar e benvenuto nel forum,
il tuo post non è ben leggibile: ho provato a modificare, va bene così?
$int_0^x 1/(sqrt(|t^2-1|))*(t-1)*(t+3) dt$
o è questa?
$int_0^x 1/((sqrt(|t^2-1|))*(t-1)*(t+3)) dt$

La seconda! Grazie!

[Kandrakar]

"Sergio":[quote="Kandrakar"]\( \int_0^x 1/(sqrt|t^2-1|)*(t-1)*(t+3)) \dt \)

Non riesco a capire. Devo leggere \(\displaystyle\int_0^x\frac{1}{\sqrt{|t^2-1|(t-1)(t+3)}}dt\), oppure \(\displaystyle\int_0^x\frac{(t-1)(t+3)}{\sqrt{|t^2-1|}}dt\)?

La prima!

"Kandrakar":A) Il dominio risulta essere (-3, 1)

Premesso che non sono un esperto né di analisi né di matematica in generale (né di altro...), mi pare che una funzione integrale sia definita su un intervallo uno degli estremi del quale è (nel caso che proponi) \(0\) e l'altro è tale che \(x\) sia un qualsiasi valore nell'intervallo \((0, b)\) oppure in quello \((a,0)\).
In parole povere, \(x\) può sia aumentare "alla destra" di \(0\), oppure diminire "alla sua sinistra", ovvero può essere o positiva o negativa. Come può il dominio di \(F(x)\) comprendere valori sia positivi che negativi?
NB: Non lo chiedo solo a te, ma anche a "quelli bravi" (che sono tanti) che ci leggono. Potrei scoprire di non aver capito qualcosa io.

Dunque, considerando la funzione integranda, i punti critici sono x=-1, x=1, x=-3.
Affinchè l'integrale sia definito osservo per quali valori l'integrale converge:
$lim_(x->1-)(f(x))$ = inf di ordine 3/2, dunque l'integrale diverge in 1.
$lim_(x->-1+)(f(x))$ = inf con ordine 1/2, dunque converge in -1.
$lim_(x->-3)(f(x))$ = inf di ordine 1 , quindi l'integrale diverge in -3.
Da ciò deduco che il dominio sia (-3, 1)... sbaglio?

"Kandrakar":D) La funzione risulta sempre decrescente in (-3, 1), passa per (0, 0) e presenta un punto a tangente verticale in x=-1 (PERCHè?? Come trovo questo punto?)

Io mi chiederei: perché solo \(x=-1\)?
Se la funzione è quella che ho provato a ricostruire per prima, anche \(x=-3\) crea qualche problemino.
D'altra parte, se la funzione è l'altra, quella con \((t-1)(t+3)\) al numeratore, allora è chiaramente non definita in \(x=\pm 1\) e, altrettanto chiaramente, in \(x=\pm 1\) ci sono asintoti verticali.
Ma perché si dice che l'asintoto si ha solo per \(x=-1\)? Risponderei: perché per \(\int_0^x f(t)dt\) si deve intendere che si sta ragionando di una \(f(t)\) definita su un sottoinsieme di \((-\infty,0)\), ovvero che il dominio non può essere \((-3,1)\).

Va be', meglio lasciare la parola a "uno pratico".[/quote]