Studio di funzione integrale
Carissimi,
ho un simpatico studio di funzione integrale che vi riporto sotto:
\(\displaystyle F(x)= {\int\limits_{0}^{\frac{1}{x}}}\frac{e^{-t^2}-1}{t^2}dt \)
Ho una singolarità in zero e sicuramente c'è un modo di calcolare l'integrale improprio da 0 ad infinito facendo ricorso alla funzione erf(x). Non riesco a dimostrare che l'intergale fa $ -sqrt(pi) $
La funzione integranda è una funzione pari ed il limite in 0 di questa vale -1.
La F(x) è negativa e simmetrica rispetto all'asse delle ordinate?Sbaglio?
Mi sono arenato
Un saluto ed un grazie a tutti.
ho un simpatico studio di funzione integrale che vi riporto sotto:
\(\displaystyle F(x)= {\int\limits_{0}^{\frac{1}{x}}}\frac{e^{-t^2}-1}{t^2}dt \)
Ho una singolarità in zero e sicuramente c'è un modo di calcolare l'integrale improprio da 0 ad infinito facendo ricorso alla funzione erf(x). Non riesco a dimostrare che l'intergale fa $ -sqrt(pi) $
La funzione integranda è una funzione pari ed il limite in 0 di questa vale -1.
La F(x) è negativa e simmetrica rispetto all'asse delle ordinate?Sbaglio?
Mi sono arenato
Un saluto ed un grazie a tutti.
Risposte
Non credo ci sia bisogno di scomodare \(\displaystyle \text{erf} (x) \) per questo integrale. Chiaramente \(\displaystyle \text{dom}f(t)=(-\infty,0)\cup(0,\infty) \) e in un intorno di zero \[\displaystyle f(t)\sim_0\frac{1-t^2-1}{t^2}=-1 \] Siccome però \(\displaystyle \frac{1}{x}\in\mathbb{R}\smallsetminus\{0\} \) possiamo concludere che il dominio della funzione integrale è proprio \(\displaystyle \mathbb{R}\smallsetminus\{0\} \).
Osserviamo che la funzione integranda è sempre negativa nel suo dominio: dato che \(\displaystyle \frac{1}{x}>0 \Leftrightarrow x>0 \) allora \(\displaystyle F(x) \) è negativa su \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \), positiva su \(\displaystyle \mathbb{R}^- \).
Notiamo inoltre che la funzione integranda è pari nel suo dominio, e l'estremo di integrazione finito è $0$, quindi dalla teoria sappiamo che la funzione integrale sarà dispari.
A occhio, la funzione ha limiti nulli agli estremi del dominio (gli estremi tendono a sovrapporsi nel passaggio al limite).
Osserviamo che la funzione integranda è sempre negativa nel suo dominio: dato che \(\displaystyle \frac{1}{x}>0 \Leftrightarrow x>0 \) allora \(\displaystyle F(x) \) è negativa su \(\displaystyle \mathbb{R}^+ \), positiva su \(\displaystyle \mathbb{R}^- \).
Notiamo inoltre che la funzione integranda è pari nel suo dominio, e l'estremo di integrazione finito è $0$, quindi dalla teoria sappiamo che la funzione integrale sarà dispari.
A occhio, la funzione ha limiti nulli agli estremi del dominio (gli estremi tendono a sovrapporsi nel passaggio al limite).
A occhio, la funzione ha limiti nulli agli estremi del dominio (gli estremi tendono a sovrapporsi nel passaggio al limite).
Qui non mi è tanto chiaro...
Risolto questo punto dovrei dimostrare in quale punto è il massimo (che secondo me è quantificato come l'integrale tra zero ed infinito della f(t)),quindi nello 0 e calcolarlo con qualche metodo,sfruttando il fatto del già noto integrale.
O sono in errore?
Un saluto
A.
ps ma se volessi visualizzare la F(x) nel sito di Wolfram che sintassi dovrei usare?
Ciao Gandalf73,
Rispondo solo a questo, per il resto eventualmente ti risponderà Weierstress che comunque ti ha già dato ottimi suggerimenti.
In effetti non è proprio banalissimo, ma neanche insormontabile, infatti si ha:
$ int frac{e^{-t^2}-1}{t^2}dt = int frac{e^{-t^2}}{t^2}dt - int frac{dt}{t^2} = int frac{e^{-t^2}}{t^2}dt + 1/t $
Integrando per parti l'integrale "superstite" scegliendo come fattore finito $f(t) = e^{- t^2} $ si ottiene:
$ int frac{e^{-t^2}-1}{t^2}dt = - frac{e^{-t^2}}{t} - 2 int e^{-t^2} dt + 1/t = - frac{e^{-t^2}}{t} - 2 [frac{sqrt{\pi}}{2} erf(t) + k] + 1/t = $
$ = frac{1 - e^{-t^2} - sqrt{\pi}\cdot t \cdot erf(t)}{t} + c = - frac{e^{-t^2} - 1}{t} - sqrt{\pi} \cdot erf(t) + c = frac{e^{-t^2} - 1}{- t^2} \cdot t- sqrt{\pi} \cdot erf(t) + c $
Perciò si ha:
$ F(x) = int_{0}^{1/x} frac{e^{-t^2}-1}{t^2}dt = [frac{e^{-t^2} - 1}{- t^2} \cdot t- sqrt{\pi} \cdot erf(t)]_{0}^{1/x} = $
$ = frac{e^{-1/x^2} - 1}{- 1/x^2} \cdot 1/x - sqrt{\pi} \cdot erf(1/x) - 0 + sqrt{\pi} \cdot erf(0) = frac{e^{-1/x^2} - 1}{- 1/x^2} \cdot 1/x - sqrt{\pi} \cdot erf(1/x) $
In definitiva si ha:
$F(0^+) := lim_{x \to 0^+} F(x) = int_{0}^{+\infty} frac{e^{-t^2}-1}{t^2}dt = lim_{x \to 0^+} [frac{e^{-1/x^2} - 1}{- 1/x^2} \cdot 1/x - sqrt{\pi} \cdot erf(1/x)] = $
$ = 0 - sqrt{\pi} \cdot erf(+\infty) = - sqrt{\pi} \cdot 1 = - sqrt{\pi} $
"Gandalf73":
Non riesco a dimostrare che l'integrale fa $- sqrt{\pi} $
Rispondo solo a questo, per il resto eventualmente ti risponderà Weierstress che comunque ti ha già dato ottimi suggerimenti.
In effetti non è proprio banalissimo, ma neanche insormontabile, infatti si ha:
$ int frac{e^{-t^2}-1}{t^2}dt = int frac{e^{-t^2}}{t^2}dt - int frac{dt}{t^2} = int frac{e^{-t^2}}{t^2}dt + 1/t $
Integrando per parti l'integrale "superstite" scegliendo come fattore finito $f(t) = e^{- t^2} $ si ottiene:
$ int frac{e^{-t^2}-1}{t^2}dt = - frac{e^{-t^2}}{t} - 2 int e^{-t^2} dt + 1/t = - frac{e^{-t^2}}{t} - 2 [frac{sqrt{\pi}}{2} erf(t) + k] + 1/t = $
$ = frac{1 - e^{-t^2} - sqrt{\pi}\cdot t \cdot erf(t)}{t} + c = - frac{e^{-t^2} - 1}{t} - sqrt{\pi} \cdot erf(t) + c = frac{e^{-t^2} - 1}{- t^2} \cdot t- sqrt{\pi} \cdot erf(t) + c $
Perciò si ha:
$ F(x) = int_{0}^{1/x} frac{e^{-t^2}-1}{t^2}dt = [frac{e^{-t^2} - 1}{- t^2} \cdot t- sqrt{\pi} \cdot erf(t)]_{0}^{1/x} = $
$ = frac{e^{-1/x^2} - 1}{- 1/x^2} \cdot 1/x - sqrt{\pi} \cdot erf(1/x) - 0 + sqrt{\pi} \cdot erf(0) = frac{e^{-1/x^2} - 1}{- 1/x^2} \cdot 1/x - sqrt{\pi} \cdot erf(1/x) $
In definitiva si ha:
$F(0^+) := lim_{x \to 0^+} F(x) = int_{0}^{+\infty} frac{e^{-t^2}-1}{t^2}dt = lim_{x \to 0^+} [frac{e^{-1/x^2} - 1}{- 1/x^2} \cdot 1/x - sqrt{\pi} \cdot erf(1/x)] = $
$ = 0 - sqrt{\pi} \cdot erf(+\infty) = - sqrt{\pi} \cdot 1 = - sqrt{\pi} $
Grazie infinite a tutti e due allora!
Per quanto riguarda la modalità dell'integrazione si stavo quasi per arrivare alla conclusione.
Ora mettendo insieme le info, c'è un passaggio da verificare:
che la derivata prima in zero non esiste (o meglio ha un salto) e questo perchè la funzione integrale è dispari.
In quel punto deduco che $F(0^+)$ è diverso da $ F(0^-) $...se non vado errato...e dovrebbero essere un minimo ed un massimo per la funzione integrale...visto che per x che tende a $ +-\infty $ la $ F(x) $ varrebbe 0.
Per quanto riguarda la modalità dell'integrazione si stavo quasi per arrivare alla conclusione.
Ora mettendo insieme le info, c'è un passaggio da verificare:
che la derivata prima in zero non esiste (o meglio ha un salto) e questo perchè la funzione integrale è dispari.
In quel punto deduco che $F(0^+)$ è diverso da $ F(0^-) $...se non vado errato...e dovrebbero essere un minimo ed un massimo per la funzione integrale...visto che per x che tende a $ +-\infty $ la $ F(x) $ varrebbe 0.
"Gandalf73":
In quel punto deduco che $F(0^+)$ è diverso da $F(0^−) $ ...se non vado errato...
Ti confermo che si ha:
$ F(0^{\pm}) := lim_{x \to 0^{\pm}} F(x) = $[tex]\mp[/tex]$ sqrt{\pi} $
$ F(\pm infty) := lim_{x \to \pm infty} F(x) = 0 $
Diciamo che ci siamo quasi.
Occorre solo dimostrare che
\( lim_{x \to 0^{\pm}} F'(x) = \mp \infty \)
Vi è cioè una discontinuità "a salto" in cui la tangente negli intorni destro e sinistro del punto è verticale.
Individuato ciò...il diagramma appare "simile" alla funzione $ 1/x $ a quadranti invertiti (asse positivo --> funzione negativa, asse negativo --> funzione positiva).Potrebbe essere corretto?
Un saluto
A.
Occorre solo dimostrare che
\( lim_{x \to 0^{\pm}} F'(x) = \mp \infty \)
Vi è cioè una discontinuità "a salto" in cui la tangente negli intorni destro e sinistro del punto è verticale.
Individuato ciò...il diagramma appare "simile" alla funzione $ 1/x $ a quadranti invertiti (asse positivo --> funzione negativa, asse negativo --> funzione positiva).Potrebbe essere corretto?
Un saluto
A.
"Gandalf73":
Occorre solo dimostrare che
[tex]\lim_{x \to 0^{\pm}} F'(x) = \mp \infty[/tex]
No, questo non mi risulta perché se
$F(x) = int_{a(x)}^{b(x)} f(t) dt $
si ha:
$F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x) $
Nel caso in esame $ b(x) = 1/x \implies b'(x) = - 1/x^2 $, $ a(x) = 0 \implies a'(x) = 0 $ e $ f(t) = frac{e^{-t^2} - 1}{t^2} $, per cui si ha:
$ F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) = frac{e^{-1/x^2} - 1}{1/x^2} \cdot (-1/x^2) = 1 - e^{-1/x^2} $
Per cui, se non ho sbagliato qualche conto vista l'ora, in definitiva si ha:
$ lim_{x \to 0^{\pm}} F'(x) = 1 $
Allora in primis grazie per il preziosissimo supporto.
Dunque correggimi se sbaglio ma ci sono tutti gli elementi per definire anche il diagramma.
Prendendo la convenzione di numerare i quadranti dal primo al quarto partendo da x/y positivi ed andando in senso orario crescendo l'indice, ci troveremo la funzione nel secondo e nel quarto spicchio di suddivisione del piano.
Non abbiamo ne massimo ne minimo perchè in 0 la funzione ha una discontinuità a salto.
Nei due punti la tangente vale uno ed il grafico appare come una "semi cuspide" rivolta in alto (tra il primo ed il quarto quadrante) ed in basso (tra il secondo ed il terzo). La restante parte appare simile alla funzione $ 1/x $ con la concavità rivolta verso l'alto e il basso (secondo e quarto quadrante ovviamente).
Ti torna?
Dove si può controllare se tutto corretto e nulla è sfuggito?
Un saluto ed un grazie ancora
A.
Dunque correggimi se sbaglio ma ci sono tutti gli elementi per definire anche il diagramma.
Prendendo la convenzione di numerare i quadranti dal primo al quarto partendo da x/y positivi ed andando in senso orario crescendo l'indice, ci troveremo la funzione nel secondo e nel quarto spicchio di suddivisione del piano.
Non abbiamo ne massimo ne minimo perchè in 0 la funzione ha una discontinuità a salto.
Nei due punti la tangente vale uno ed il grafico appare come una "semi cuspide" rivolta in alto (tra il primo ed il quarto quadrante) ed in basso (tra il secondo ed il terzo). La restante parte appare simile alla funzione $ 1/x $ con la concavità rivolta verso l'alto e il basso (secondo e quarto quadrante ovviamente).
Ti torna?
Dove si può controllare se tutto corretto e nulla è sfuggito?
Un saluto ed un grazie ancora
A.
"Gandalf73":
Allora in primis grazie per il preziosissimo supporto.
Prego!
"Gandalf73":
Dunque correggimi se sbaglio ma ci sono tutti gli elementi per definire anche il diagramma.
Direi proprio di sì...
"Gandalf73":
Dove si può controllare se tutto corretto e nulla è sfuggito?
Beh, ad esempio su WolframAlpha:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=-+sqrt(%5Cpi)+erf(1%2Fx)+-x+e%5E(-1%2Fx%5E2)+%2B+x
Carissimo,
ho rivisto per bene tutto quanto.
Manca solo una piccola nota:
Quale definizione usi per la $ erf(1/x) $?
Mi sono accorto che c'è un po di difformità nello standardizzare la definizione
Dovrebbe essere questa:
$ F(x) =frac{2}{sqrt{\pi}}int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt $
o mi sbaglio?
Un salutone
A.
ho rivisto per bene tutto quanto.
Manca solo una piccola nota:
Quale definizione usi per la $ erf(1/x) $?
Mi sono accorto che c'è un po di difformità nello standardizzare la definizione
Dovrebbe essere questa:
$ F(x) =frac{2}{sqrt{\pi}}int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2}dt $
o mi sbaglio?
Un salutone
A.
"Gandalf73":
mi sbaglio?
Sì, quella che hai scritto poi non è una funzione, ma un numero...
La funzione errore $erf(x)$ precedentemente citata è definita nel modo seguente:
\begin{equation}
\boxed{erf(x) := \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt}
\end{equation}
Dato che la funzione integranda è pari, è anche vero che si ha:
\begin{equation}
\begin{split}
\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-x}^{x}e^{-t^2}dt & = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-x}^{0}e^{-t^2}dt + \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt = \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt + \frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt =\\
& = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^2}dt =\\
& = erf(x)
\end{split}
\label{def2:erf(x)}
\end{equation}
Ecco spiegato perché in alcuni testi si può trovare la funzione errore $erf(x)$ definita come il primo membro dell'equazione (\ref{def2:erf(x)}). Qui di seguito alcune proprietà della funzione $erf(x)$ facilmente dimostrabili:
$ erf(-x) = - erf(x) $
$ erf(0) = 0 $
$ erf(+\infty) := lim_{x \to +\infty} erf(x) = 1 $
Quindi in definitiva si ha:
$ erf(+\infty) := lim_{x \to +\infty} erf(x) = frac{1}{sqrt{\pi}} int_{-\infty}^{+\infty} e^{-t^2} dt = frac{2}{sqrt{\pi}} int_{0}^{+\infty} e^{-t^2} dt = 1 $
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