Studio di funzione integrale
Vi propongo il seguente studio:
Sia $ f(x) = \int_1^x \frac{ (cost)^2 }{ t }\ \text{d} t $
Il testo richiede: Determinare il dominio e il segno di $ f(x) $; successivamente calcolare $ f'(x) $ nei punti in cui è definita.
Per quanto riguarda la determinazione del dominio io ho provato a ragionare così:
Sia $ g(t) = \frac{ (cost)^2 }{ t } $ dunque $ g(t) $ è discontinua in $ t = 0 $.
Qua mi sono un pò bloccato in quanto non riesco a capire se:
-L'integrale è comunque definito $ AA x $ perchè la $ g(t) $ è discontinua in un numero finito di punti.
oppure
-Si ha che $ f(x) $ è definita $ AA x > 0 $ dato che se $ x <= 0 $ allora tra $ x $ e $ 1 $ cè lo zero di mezzo e la funzione non è definita perchè non lo è la $ g(t) $.
Presupponendo più plausibile la prima ho proseguito come segue:
Ho studiato il segno di $ g(t) $: $ \{ ( g(t) >= 0 text{ } t >= 0) , ( g(t) < 0 text{ } t < 0 ) :} $
Dunque il segno di $ f(x) $: $ \{ ( f(x) >= 0 text{ } x<= 0 uu x >= 1 ) , ( f(x) < 0 text{ } 0 < x < 1) :} $
e concluso calcolando la derivata tramite la formula della derivata di un integrale definito: $ f'(x) = \frac{(cosx)^2}{x} $ definita $ AA x != 0 $
Però non sono sicuro di come ho svolto l'esercizio dato che ho molte incertezze su come si definisce il segno di una funzione integrale e su come vedere i punti dove è derivabile.
Qualcuno può chiarirmi qualche dubbio?
Grazie in anticipo.
PS: per lo studio del segno di $ f(x) $ io ho considerato che quando $ x < 1 $ allora si considera l'integrale col segno negativo e gli estremi opposti; ho fatto bene?
Sia $ f(x) = \int_1^x \frac{ (cost)^2 }{ t }\ \text{d} t $
Il testo richiede: Determinare il dominio e il segno di $ f(x) $; successivamente calcolare $ f'(x) $ nei punti in cui è definita.
Per quanto riguarda la determinazione del dominio io ho provato a ragionare così:
Sia $ g(t) = \frac{ (cost)^2 }{ t } $ dunque $ g(t) $ è discontinua in $ t = 0 $.
Qua mi sono un pò bloccato in quanto non riesco a capire se:
-L'integrale è comunque definito $ AA x $ perchè la $ g(t) $ è discontinua in un numero finito di punti.
oppure
-Si ha che $ f(x) $ è definita $ AA x > 0 $ dato che se $ x <= 0 $ allora tra $ x $ e $ 1 $ cè lo zero di mezzo e la funzione non è definita perchè non lo è la $ g(t) $.
Presupponendo più plausibile la prima ho proseguito come segue:
Ho studiato il segno di $ g(t) $: $ \{ ( g(t) >= 0 text{ } t >= 0) , ( g(t) < 0 text{ } t < 0 ) :} $
Dunque il segno di $ f(x) $: $ \{ ( f(x) >= 0 text{ } x<= 0 uu x >= 1 ) , ( f(x) < 0 text{ } 0 < x < 1) :} $
e concluso calcolando la derivata tramite la formula della derivata di un integrale definito: $ f'(x) = \frac{(cosx)^2}{x} $ definita $ AA x != 0 $
Però non sono sicuro di come ho svolto l'esercizio dato che ho molte incertezze su come si definisce il segno di una funzione integrale e su come vedere i punti dove è derivabile.
Qualcuno può chiarirmi qualche dubbio?
Grazie in anticipo.
PS: per lo studio del segno di $ f(x) $ io ho considerato che quando $ x < 1 $ allora si considera l'integrale col segno negativo e gli estremi opposti; ho fatto bene?
Risposte
Ciao GabMat.
Ok
Assolutamente no! Questa non è una motivazione valida: come ti comporteresti nel trovare il dominio se la funzione fosse
Mmh... Ok, ma devi prima accertarti che l'integrale non sia effettivamente definito in $0$: prendi ad esempio
essendo
La derivata/integranda $|x|/x$ non è definita in $0$, ma la sua primitiva $|x|$ sì, e se imponessimo gli estremi di integrazione che abbiamo noi otterremmo
nel cui dominio ($RR$) il punto $0$ è compreso.
Cioè malgrado l'integranda non sia definita in certi punti, la sua primitiva può invece esserlo! Se ti serve un altro esempio prova a derivare $sqrtx$ e confronta i rispettivi domini.
Un "metodo semplice" per verificare se un punto appartiene al dominio dell'integrale è verificare il limite dell'integranda (tenendo come riferimento gli estremi di integrazione, ovviamente): se è costante oppure diverge per ordini inferiori a $1$ allora esso fa parte del dominio.
Hai già verificato che il dominio dell'integranda è $RR\\{0}$, e quindi la funzione è sicuramente ivi integrabile.
Ora: quanto vale
$ f(x) = int_1^x (cos^2(t))/t text{d} t $
"GabMat":
Per quanto riguarda la determinazione del dominio io ho provato a ragionare così:
Sia $ g(t) = \frac{ (cost)^2 }{ t } $ dunque $ g(t) $ è discontinua in $ t = 0 $.
Ok
"GabMat":
Qua mi sono un pò bloccato in quanto non riesco a capire se:
-L'integrale è comunque definito $ AA x $ perchè la $ g(t) $ è discontinua in un numero finito di punti.
Assolutamente no! Questa non è una motivazione valida: come ti comporteresti nel trovare il dominio se la funzione fosse
$h(x)=int_1^x (text{d}t)/t$ ?
"GabMat":
oppure
-Si ha che $ f(x) $ è definita $ AA x > 0 $ dato che se $ x <= 0 $ allora tra $ x $ e $ 1 $ cè lo zero di mezzo e la funzione non è definita perchè non lo è la $ g(t) $.
[...]
Mmh... Ok, ma devi prima accertarti che l'integrale non sia effettivamente definito in $0$: prendi ad esempio
$int |x|/x text(d)x=|x|$
essendo
$text(d)/(text(d)x)|x|=|x|/x$
La derivata/integranda $|x|/x$ non è definita in $0$, ma la sua primitiva $|x|$ sì, e se imponessimo gli estremi di integrazione che abbiamo noi otterremmo
$int_1^x |x|/x=[|x|]_1^x=|x|-1$
nel cui dominio ($RR$) il punto $0$ è compreso.
Cioè malgrado l'integranda non sia definita in certi punti, la sua primitiva può invece esserlo! Se ti serve un altro esempio prova a derivare $sqrtx$ e confronta i rispettivi domini.
Un "metodo semplice" per verificare se un punto appartiene al dominio dell'integrale è verificare il limite dell'integranda (tenendo come riferimento gli estremi di integrazione, ovviamente): se è costante oppure diverge per ordini inferiori a $1$ allora esso fa parte del dominio.
Hai già verificato che il dominio dell'integranda è $RR\\{0}$, e quindi la funzione è sicuramente ivi integrabile.
Ora: quanto vale
$lim_(t->0) (cos^2(t))/t$ ?
Grazie mille per le delucidazioni Brancaleone!! Adesso penso di aver capito:
Il $ lim_(t->0) \frac{cos(t)^2}{t} = \frac{1}{0} = + oo $ , dunque la funzione non è limitata e allora non integrabile se 0 è compreso nell'intervallo di integrazione, dunque bisogna considerare il caso $ AA x > 0 $ !
i.e: se invece l'integrale era tra $ x $ e $ -1 $ avrei dovuto invece considerare $ AA x < 0 $, l'importante è che 0 non rientri nell'intervallo di integrazione.
Il $ lim_(t->0) \frac{cos(t)^2}{t} = \frac{1}{0} = + oo $ , dunque la funzione non è limitata e allora non integrabile se 0 è compreso nell'intervallo di integrazione, dunque bisogna considerare il caso $ AA x > 0 $ !
i.e: se invece l'integrale era tra $ x $ e $ -1 $ avrei dovuto invece considerare $ AA x < 0 $, l'importante è che 0 non rientri nell'intervallo di integrazione.
"GabMat":
Il $ lim_(t->0) \frac{cos(t)^2}{t} = \frac{1}{0} = + oo $ , dunque la funzione non è limitata e allora non integrabile se 0 è compreso nell'intervallo di integrazione, dunque bisogna considerare il caso $ AA x > 0 $ !
Il limite tende a $pm oo$ per $t->0^pm$ con ordine 1, quindi l'integrale non è definito in $0$ - se l'ordine fosse stato inferiore sarebbe stata ivi integrabile come, ad esempio, $int_1^x 1/sqrtt text(d)t$.
"GabMat":
se invece l'integrale era tra $ x $ e $ -1 $ avrei dovuto invece considerare $ AA x < 0 $, l'importante è che 0 non rientri nell'intervallo di integrazione.
Sì
Grazie ancora 
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